Matematik I · 2. Ünite: Türev
Hiperbolik Fonksiyonlar ve Türevleri
İki direk arasında kendi ağırlığıyla asılı kalan kablonun biçimi parabol değil $y=a\cosh(x/a)$ eğrisidir; hava direnci altında düşen cismin hızı da $\tanh$ ile yazılır. Bu konuda $\sinh$, $\cosh$, $\tanh$ fonksiyonlarını $e^x$ ve $e^{-x}$ cinsinden tanımlar, özdeşliklerini ve türevlerini çıkarır, ters hiperbolik fonksiyonları logaritma olarak ifade eder ve trigonometrik fonksiyonlarla benzerlik ile farkları karşılaştırırsın.
Öğrenme hedefleri
- $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ ve $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ tanımlarından $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ özdeşliğini ve çift/tek fonksiyon özelliklerini gösterir.
- $(\sinh x)'=\cosh x$, $(\cosh x)'=\sinh x$ ve $(\tanh x)'=\operatorname{sech}^2x$ türevlerini türetir; zincir kuralıyla $\sinh(3x^2)$, $\ln(\cosh x)$ gibi bileşikleri türevler.
- $\operatorname{arsinh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ ve $\operatorname{arcosh}$, $\operatorname{artanh}$ ifadelerini tanım kümeleriyle birlikte türetir; $\sinh x=\frac34$ gibi denklemleri çözer.
- Zincir eğrisi $y=a\cosh(x/a)$ için eğim ($\sinh(x/a)$) ve yay uzunluğunu ($a\sinh(x/a)$) hesaplar; parabolle farkını $\frac{x^4}{24a^3}$ mertebesinde açıklar.
- $\tanh$ ile modellenen sınırlı büyümeyi ($v=v_t\tanh(gt/v_t)$) yorumlar; hiperbolik ve trigonometrik fonksiyonları $y''=\pm y$ ve işaret farkları üzerinden karşılaştırır.
Konu anlatımı
1. Bağlam: asılı kablo ve sınırlı hız
2. Tanımlar ve özdeşlikler
3. Türevler ve türetmeleri
4. Ters hiperbolik fonksiyonlar
5. Çözümlü örnekler
6. Sınır durumları ve karşı örnekler
7. Grafik ve tablo yorumu
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Hiperbolik sinüs (hyperbolic sine)
- $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$; tek, her yerde artan, değer kümesi $\mathbb{R}$.
- Hiperbolik kosinüs (hyperbolic cosine)
- $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$; çift, $\cosh x\ge1$, $x=0$'da minimum.
- Hiperbolik tanjant (hyperbolic tangent)
- $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$; tek, değer kümesi $(-1,1)$, türevi $\operatorname{sech}^2x$.
- Birim hiperbol (unit hyperbola)
- $x^2-y^2=1$; $(\cosh t,\sinh t)$ sağ kolu çizer, taranan dilim alanı $t/2$.
- Ters hiperbolik fonksiyon (inverse hyperbolic function)
- $\operatorname{arsinh}$, $\operatorname{arcosh}$, $\operatorname{artanh}$; logaritma ile yazılır, türevleri cebirseldir.
- Zincir eğrisi (catenary)
- Kendi ağırlığıyla asılı esnek kablonun eğrisi $y=a\cosh(x/a)$; eğimi $\sinh(x/a)$, yay uzunluğu $a\sinh(x/a)$.
- Osborn kuralı (Osborn's rule)
- Trigonometrik özdeşliği hiperbolik karşılığına çevirme kuralı: iki sinüs çarpımı içeren terimlerde işaret değişir.
- Sınır hız (terminal velocity)
- Direnç kuvvetinin ağırlığı dengelediği hız $v_t$; $v=v_t\tanh(gt/v_t)$ modelinde $t\to\infty$ için limit.
Örnek soru
$f(x)=\cosh(5x)$ fonksiyonunun türevi hangisidir?
- $-5\sinh 5x$
- $5\sinh 5x$
- $\sinh 5x$
- $5\cosh 5x$
- $\dfrac15\sinh 5x$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$ olduğundan zincir kuralıyla $\frac{d}{dx}\cosh u=u'\sinh u$.
2. $u=5x$, $u'=5$ için $f'(x)=$ $5\sinh 5x$.
Çeldiriciler: $-5\sinh5x$ trigonometrik $\cos$ türevinin eksi işaretini taşır (hiperbolik türevde yoktur); $\sinh5x$ zincir çarpanını atar; $5\cosh5x$ fonksiyonu türevlemeden bırakır; $\frac15\sinh5x$ türev yerine integral alır.