Matematik I · 2. Ünite: Türev
Logaritmik ve Üstel Fonksiyonların Türevi
Bir popülasyonun, bir bankadaki paranın ya da bir radyoaktif örneğin değişim hızı çoğu zaman o anki miktarla orantılıdır; bu orantı $f' = kf$ denklemine, çözümü de üstel fonksiyonlara götürür. Bu konuda $e^x$, $\ln x$, $a^x$ ve $\log_a x$ fonksiyonlarının türevlerini limit tanımından ve ters fonksiyon ilişkisinden türetir, zincir kuralıyla birleştirir ve değişken tabanlı ya da çok çarpanlı ifadeleri logaritmik türev yöntemiyle türevleyebilir hâle gelirsin.
Öğrenme hedefleri
- $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ kuralını türev tanımındaki $m(a) = \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ limitinden türetir ve $e$'nin $m(e)=1$ koşuluyla belirlendiğini açıklar.
- $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ sonucunu ters fonksiyon türevi ($\frac{d}{dx}f^{-1} = 1/f'(f^{-1})$) ile ispatlar ve $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ ($x\neq 0$) sonucunu yorumlar.
- Zincir kuralını $e^{u(x)}$, $\ln u(x)$, $a^{u(x)}$ ve $\log_a u(x)$ biçimlerine uygulayarak türevleri hesaplar ve belirli noktada teğet eğimini bulur.
- $y = f(x)^{g(x)}$ ve çok çarpanlı oran ifadelerinde logaritmik türev alır; $y<0$ olduğunda $\ln|y|$ kullanımının neden geçerli olduğunu gerekçelendirir.
- $x^a$ (güç kuralı), $a^x$ (üstel kural) ve $x^x$ (logaritmik türev) türlerini ayırt eder; yanlış kural seçiminin sonucunu somut sayısal örnekle gösterir.
Konu anlatımı
1. Bağlam: değişim hızı miktarla orantılıysa
2. Tanım ve teoremler: üstel ve logaritmik türev kuralları
3. Logaritmik türev alma yöntemi
4. Çözümlü örnekler
5. Sınır durumları ve karşı örnekler
6. Grafik ve tablo yorumu
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Doğal üstel fonksiyon (natural exponential function)
- $e^x$; türevi kendisine eşit olan, $f(0)=1$ koşullu tek fonksiyon.
- Doğal logaritma (natural logarithm)
- $\ln x = \log_e x$, $e^x$'in ters fonksiyonu; türevi $\frac1x$, tanım kümesi $x>0$.
- Euler sayısı (Euler's number)
- $e\approx2{,}71828$; $m(e)=\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$ olan taban.
- Taban değiştirme formülü (change of base)
- $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$; $\log_a$ türevinin $\frac{1}{x\ln a}$ çıkmasının nedeni.
- Logaritmik türev (logarithmic differentiation)
- $\ln|y|$ türevlenerek $y'=y\cdot(\ln|y|)'$ bulunan yöntem; çarpım, bölüm ve değişken üslerde kullanılır.
- Göreli değişim hızı (relative rate of change)
- $\frac{f'}{f}=(\ln|f|)'$; $a^x$ için sabit ve $\ln a$'ya eşittir.
- Ters fonksiyon türevi (derivative of inverse)
- $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$; $\ln x$ türevinin ispatında kullanılır.
- Zincir kuralı (chain rule)
- $\frac{d}{dx}f(u(x))=f'(u)\,u'$; üstel ve logaritmik kuralların genel biçimini verir.
Örnek soru
$f(x) = e^{3x^2}$ fonksiyonunun türevi hangisidir?
- $3x^2e^{3x^2}$
- $e^{3x^2}$
- $6x\,e^{3x^2}$
- $3x^2e^{3x^2-1}$
- $6x\,e^{6x}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Üstel kuralın zincir biçimi: $\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\,u'$.
2. $u=3x^2$ ise $u'=6x$.
3. Sonuç: $f'(x)=e^{3x^2}\cdot 6x=$ $6x\,e^{3x^2}$.
D şıkkı en güçlü çeldiricidir: üssü "indirmek" güç kuralının işidir; burada değişken üstte olduğundan $e^{u}$ aynen kalır ve yalnızca iç türev ($u'$) çarpılır.