Matematik I · 8. Ünite: Parametrik ve Kutupsal Denklemler
Parametrik Eğrilerde Türev ve İntegral
Parametrik bir eğri $y = f(x)$ biçiminde yazılamadığında bile teğet doğrusunun eğimi, eğrinin altında kalan alan, yay uzunluğu ve dönel yüzey alanı sorulabilir. Bu konuda zincir kuralı ve değişken değiştirme yardımıyla bütün bu nicelikleri doğrudan $x(t)$ ve $y(t)$ cinsinden hesaplayacağız. Sonunda $dy/dx$ ve $d^2y/dx^2$'yi, yatay, dikey teğetleri ve sivri uçları bulabilir; $\int y\,dx$, $\int\sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt$ ve $\int 2\pi y\,ds$ integrallerini kurup hesaplayabilir ve parametrizasyonun tekrar tur atmasının sonuçları nasıl etkilediğini yorumlayabilirsiniz.
Öğrenme hedefleri
- Zincir kuralıyla $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ bağıntısını türetir; verilen $t$ için teğet doğrusunun denklemini yazar.
- $dy/dt = 0$ ve $dx/dt \ne 0$ koşuluyla yatay teğetleri, $dx/dt = 0$ ve $dy/dt \ne 0$ koşuluyla dikey teğetleri; her iki türevin birden sıfır olduğu noktaları ise ayrıca inceler (sivri uç ya da tekil nokta).
- $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt}(dy/dx)}{dx/dt}$ formülünü uygular ve $y''/x''$ biçimindeki yaygın hatayı gösterir; içbükeylik yorumu yapar.
- $A = \int y\,dx = \int y(t)\,x'(t)\,dt$ ile eğrinin altındaki alanı hesaplar; $t$ aralığının ve yönün işaret üzerindeki etkisini açıklar.
- $L = \int \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt$ ve $S = \int 2\pi y\,\sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt$ integrallerini kurar; eğrinin birden fazla kez çizilmesinin sonuca etkisini yorumlar.
- Sikloidin bir kemerinin alanını ($3\pi r^2$) ve yay uzunluğunu ($8r$) hesaplar.
Konu anlatımı
Bağlam: Hareket eden noktanın hızı ve teğeti
Teğet eğimi: dy/dx formülünün türetilmesi
İkinci türev ve içbükeylik
Eğrinin altındaki alan
Yay uzunluğu ve dönel yüzey alanı
Simülasyonda gözlem
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Parametrik türev
- $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; teğet doğrusunun eğimi, hız vektörünün düşey ve yatay bileşenlerinin oranıdır.
- Yatay ve dikey teğet
- Yatay: $dy/dt = 0$, $dx/dt \ne 0$. Dikey: $dx/dt = 0$, $dy/dt \ne 0$.
- Tekil nokta (singular point)
- $x'(t) = y'(t) = 0$ olan nokta; hız sıfırdır ve teğet ayrıca incelenmelidir (sivri uç gibi).
- Sivri uç (cusp)
- Eğrinin hız vektörünün sıfıra gidip yön değiştirdiği, iki kolun aynı doğruya teğet geldiği nokta (ör. $x = t^3$, $y = t^2$).
- İkinci türev (parametrik)
- $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt}(dy/dx)}{dx/dt}$; içbükeylik ve büküm noktası analizi için kullanılır.
- Parametrik alan
- $A = \int y\,dx = \int y(t)\,x'(t)\,dt$; yön ve $t$ aralığına bağlı olarak işaretli sonuç verir.
- Yay uzunluğu (arc length)
- $L = \int\sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt$; sürat integraline eşittir ve eğri bir kez çizilirken geçerlidir.
- Dönel yüzey alanı
- $S = \int 2\pi y\,ds$; $ds = \sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt$ yay uzunluğu elemanıdır.
- Sürat (speed)
- $|\vec{v}| = \sqrt{x'^2 + y'^2}$; hız vektörünün büyüklüğü.
Örnek soru
$x = t^2$, $y = t^3 - 3t$ eğrisinin $t = 2$ noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
- $\dfrac{4}{9}$
- $\dfrac{3}{4}$
- $\dfrac{9}{2}$
- $\dfrac{9}{4}$
- $9$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $\dfrac{dx}{dt} = 2t$, $\dfrac{dy}{dt} = 3t^2 - 3$.
2. $t = 2$ için $x' = 4$, $y' = 9$.
3. Eğim $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y'}{x'} = \dfrac{9}{4}$. Sonuç: $9/4$.
Çeldiriciler: $4/9$ oranı ters yazmaktır ($dx/dy$); $9$ yalnızca $dy/dt$'yi alır; $9/2$ ise paydada $x' = 2t$ yerine $2$ kullanmaktan çıkar.