Matematik I · 8. Ünite: Parametrik ve Kutupsal Denklemler
Parametrik Eğriler
Bir çember, bir sikloid ya da kendini kesen bir yörünge $y = f(x)$ biçiminde tek bir fonksiyonla yazılamaz; ama her biri "bir noktanın zamanla nasıl hareket ettiği" olarak çok doğal biçimde anlatılır. Parametrik gösterimde $x$ ve $y$ koordinatları ortak bir $t$ parametresinin fonksiyonudur. Bu konunun sonunda parametrik eğriyi çizebilir, parametreyi yok ederek kartezyen denkleme (ve aralık kısıtına) geçebilir, verilen bir eğri için yönlü bir parametrizasyon kurabilir ve aynı eğrinin farklı parametrizasyonlarını ayırt edebilirsiniz.
Öğrenme hedefleri
- $x = f(t)$, $y = g(t)$ ile verilen eğriyi $t$ aralığı boyunca çizer; başlangıç ve bitiş noktasını ve çizilme yönünü belirler.
- Parametreyi yok ederek kartezyen denklemi bulur ve $t$ aralığından doğan kısıtı ($x \ge 0$, $y \ge 1$ gibi) eğrinin hangi parçasına karşılık geldiğiyle birlikte yazar.
- Doğru parçası, çember, elips, $y = f(x)$ grafiği ve hiperbol için yönlü parametrizasyon yazar; merkez, yarıçap ve başlangıç noktasını ayarlar.
- Aynı geometrik eğriyi farklı hızlarla, farklı yönlerde ya da birden çok kez çizen parametrizasyonları ayırt eder ve $x(t_1) = x(t_2)$, $y(t_1) = y(t_2)$ koşuluyla kendini kesme noktalarını bulur.
- Sikloidin $x = r(t - \sin t)$, $y = r(1 - \cos t)$ denklemlerini yuvarlanma geometrisinden türetir ve sivri uç, yükseklik, kemer genişliği gibi özelliklerini okur.
Konu anlatımı
Bağlam: Hareketi koordinatlarla anlatmak
Tanım: parametrik denklemler ve parametrik eğri
Parametreyi yok etme ve aralık kısıtı
Temel parametrizasyonlar
Sikloid: yuvarlanan tekerleğin izi
Çözümlü örnekler: yön, kısıt ve parametrizasyon kurma
Simülasyonda gözlem
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Parametrik denklem (parametric equations)
- $x = f(t)$, $y = g(t)$ biçiminde, iki koordinatı ortak bir parametreye bağlayan denklem takımı.
- Parametre (parameter)
- Eğri üzerindeki noktayı etiketleyen bağımsız değişken; zaman, açı ya da yay uzunluğu olabilir.
- Yönlenme (orientation)
- $t$ artarken noktanın eğri üzerinde izlediği yön; aynı eğrinin parametrizasyonları farklı yön taşıyabilir.
- Parametreyi yok etme (elimination)
- $t$'yi atarak $x$ ve $y$ arasında kartezyen bir bağıntı bulma; çizilen kısım için $t$ aralığından gelen kısıtı da yazmayı gerektirir.
- Parametrizasyon (parametrization)
- Verilen bir eğriyi izleyen $(x(t), y(t))$ çifti; bir eğri için sonsuz çok parametrizasyon vardır.
- Sikloid (cycloid)
- Kaymadan yuvarlanan çember üzerindeki sabit bir noktanın izi: $x = r(t - \sin t)$, $y = r(1 - \cos t)$.
- Sivri uç (cusp)
- Eğrinin yönünün ani ters döndüğü nokta; sikloidin yere değdiği noktalar buna örnektir.
- Kendini kesme noktası
- Farklı iki parametre değerinin aynı $(x, y)$ noktasını verdiği nokta.
- Lissajous eğrisi
- $x = A\sin(at)$, $y = B\sin(bt)$ ile iki dik salınımın bileşkesi; frekans oranı düğüm sayısını belirler.
Örnek soru
$x = 3t - 1$, $y = 2t + 4$ parametrik denklemleriyle verilen eğrinin kartezyen denklemi hangisidir?
- $y = \frac{3}{2}x + 2$
- $y = 2x + 5$
- $y = \frac{2}{3}x + \frac{14}{3}$
- $y = \frac{2}{3}x + 4$
- $y = 3x - 1$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Birinci denklemden parametreyi çekelim: $x = 3t - 1 \Rightarrow t = \dfrac{x + 1}{3}$.
2. İkinci denklemde yerine yazalım: $y = 2\cdot\dfrac{x + 1}{3} + 4 = \dfrac{2x + 2 + 12}{3} = \dfrac{2x + 14}{3}$.
3. Sonuç: $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{14}{3}$. $t = 0$ ile kontrol: $(-1, 4)$ noktası $\frac{2}{3}(-1) + \frac{14}{3} = 4$ ✓.
Çeldirici analizi: $y = \frac{2}{3}x + 4$ seçeneği sabit terimde $t$'nin $x$ içindeki $-1$ kayması (ötelemesi) unutulduğunda çıkar; $y = \frac{3}{2}x + 2$ ise $x$ ile $y$'nin katsayılarının yerleri karıştırılırsa bulunur.