Lineer Cebir · 4. Ünite: İç Çarpım Uzayları (Inner Product Spaces)
Açı ve Ortogonallik (Diklik)
İç çarpım, $\mathbb{R}^n$ içinde yalnızca uzunluk değil, vektörler arasındaki açıyı da tanımlamamızı sağlar. Bu konuda cosinüs formülünü Cauchy-Schwarz eşitsizliğiyle temellendirecek, diklik (ortogonallik) kavramını tek vektörden alt uzaylara genişletecek ve bir vektörü bir alt uzay ile onun dikmesi üzerindeki iki parçaya benzersiz biçimde ayıran ortogonal ayrışım teoremini kuracağız. Bu araçlar sonraki konular olan Gram-Schmidt süreci ve en küçük kareler yönteminin temelini oluşturur.
Öğrenme hedefleri
- İki vektör arasındaki açıyı $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}$ formülüyle hesaplar ve iç çarpımın işaretinden açının dar, dik ya da geniş olduğunu yorumlar.
- Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanarak açı tanımının her vektör çifti için geçerli olduğunu gerekçelendirir; Pisagor teoremini ortogonal vektörler için uygular.
- Ortogonal ve ortonormal kümeleri tanır, ortogonal kümelerin lineer bağımsızlığını ispatlar ve ortonormal baza göre koordinatları $c_i = \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_i$ ile bulur.
- Bir $W$ alt uzayının ortogonal tümleyenini $W^\perp$ hesaplar; $\dim W + \dim W^\perp = n$ ve $\text{Row}(A)^\perp = \text{Null}(A)$ ilişkilerini kullanır.
- Bir vektörün alt uzay üzerindeki ortogonal izdüşümünü $\text{proj}_W(\mathbf{v})$ hesaplar ve $\mathbf{v} = \text{proj}_W(\mathbf{v}) + \mathbf{v}^\perp$ ayrışımıyla vektörün alt uzaya uzaklığını bulur.
Konu anlatımı
Bağlam: Geometri Neden İç Çarpımdan Doğar?
İki Vektör Arasındaki Açı ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği
Ortogonallik, Pisagor Teoremi ve Ortogonal Kümeler
Ortogonal Tümleyen (Orthogonal Complement)
Ortogonal İzdüşüm (Orthogonal Projection)
Ortogonal Ayrışım Teoremi
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Sonraki Konularla Bağlantı
Anahtar terimler
- Açı (Angle)
- Sıfırdan farklı $\mathbf{u},\mathbf{v}$ için $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$ ile tanımlı, $[0,\pi]$ aralığındaki sayı.
- Cauchy-Schwarz Eşitsizliği
- $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$; açı tanımındaki oranın $[-1,1]$ içinde kalmasını sağlar. Eşitlik ancak vektörler paralelse olur.
- Ortogonal (Dik) Vektörler
- İç çarpımı sıfır olan iki vektör: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$. Sıfır vektörü her vektöre ortogonaldir.
- Ortogonal Küme
- Farklı iki elemanı birbirine dik olan küme. Sıfır içermeyen ortogonal küme lineer bağımsızdır.
- Ortonormal Küme
- Hem ortogonal hem de her elemanı birim uzunlukta olan küme: $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j=\delta_{ij}$.
- Ortogonal Tümleyen ($W^\perp$)
- $W$ alt uzayının her vektörüne dik olan vektörlerin alt uzayı. $\dim W+\dim W^\perp=n$ ve $W\cap W^\perp=\{\mathbf{0}\}$.
- Ortogonal İzdüşüm ($\text{proj}_W$)
- $\mathbf{v}$'ye $W$ içindeki en yakın vektör; $\mathbf{v}-\text{proj}_W(\mathbf{v})\in W^\perp$ koşuluyla belirlenir.
- Ortogonal Ayrışım Teoremi
- Her $\mathbf{v}$ vektörü $\mathbf{w}\in W$ ve $\mathbf{w}^\perp\in W^\perp$ olmak üzere $\mathbf{v}=\mathbf{w}+\mathbf{w}^\perp$ olarak tek biçimde yazılır.
- Normalleştirme (Normalization)
- Bir vektörü kendi normuna bölerek birim vektör elde etme: $\mathbf{e}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|$. Yönü ve dolayısıyla diklik ilişkilerini korur.
Örnek soru
$\mathbf{u}=(1,0,1)$ ve $\mathbf{v}=(0,1,1)$ vektörleri arasındaki açı kaçtır?
- $30^\circ$
- $60^\circ$
- $90^\circ$
- $120^\circ$
- $150^\circ$
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: $60^\circ$
1. İç çarpım: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot0+0\cdot1+1\cdot1=1$.
2. Normlar: $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{2}$ ve $\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2}$.
3. Kosinüs: $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac12$, dolayısıyla $\theta=\mathbf{60^\circ}$.
Çeldiriciler: $120^\circ$, iç çarpımın işaretini yanlış almakla ($\cos\theta=-1/2$) elde edilir; iç çarpım pozitif olduğundan açı dar olmalıdır. $30^\circ$ ise $\cos\theta=\sqrt3/2$ ile karıştırmaktan gelir.