Lineer Cebir · 4. Ünite: İç Çarpım Uzayları (Inner Product Spaces)
Gram-Schmidt Ortogonalleştirme Süreci ve QR Ayrışımı
Bir vektör uzayında koordinat bulmak, uzunluk ve açı ölçmek, en küçük kareler problemini çözmek; hepsi taban dik (ortogonal) olduğunda kolaylaşır. Gram-Schmidt süreci, herhangi bir tabanı adım adım izdüşümleri çıkararak ortonormal bir tabana dönüştürür. Bu sürecin matris dili olan QR ayrışımı $A=QR$, doğrusal sistemlerin ve en küçük kareler problemlerinin sayısal olarak sağlam çözümünün temelidir. Bu bölümde süreci türetip doğruluğunu ispatlayacak, $Q$ ve $R$ matrislerini hesaplayacak ve $R\hat{x}=Q^{T}b$ sistemiyle en küçük kareler çözümünü bulacağız.
Öğrenme hedefleri
- Bir vektörün başka bir vektör (ya da alt uzay) üzerindeki dik izdüşümünü $\text{proj}_u v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$ ile hesaplar ve kalan parçanın izdüşüm doğrultusuna dik olduğunu gösterir.
- Gram-Schmidt sürecini $\mathbb{R}^3$ ve $\mathbb{R}^4$ içindeki bağımsız vektör kümelerine adım adım uygulayarak ortogonal ve ortonormal taban elde eder.
- Sürecin her adımda $u_k\perp u_j$ ($j<k$) ve $\text{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\text{span}\{u_1,\dots,u_k\}$ özelliklerini sağladığını tümevarımla ispatlar; $u_k=0$ olmasını doğrusal bağımlılıkla ilişkilendirir.
- Tam sütun ranklı $A$ matrisi için $A=QR$ ayrışımını ($Q$ ortonormal sütunlu, $R$ pozitif köşegenli üst üçgen) hesaplar; $r_{ij}=e_i\cdot a_j$ ve $r_{jj}=\|u_j\|$ formüllerini kullanır, $A=QR$ ve $Q^{T}Q=I$ eşitliklerini doğrular.
- Ortonormal tabanda koordinatları $c_i=e_i\cdot b$ iç çarpımlarıyla bulur ve $|\det A|=r_{11}r_{22}\cdots r_{nn}$ bağıntısını yorumlar.
- En küçük kareler problemini $R\hat{x}=Q^{T}b$ sistemiyle çözer, kalıntı vektörünün $\text{Col}(A)$'ya dik olduğunu doğrular ve klasik/değiştirilmiş Gram-Schmidt ile normal denklemlerin sayısal kararlılığını karşılaştırır.
Konu anlatımı
Bağlam: Neden Ortogonal Taban İsteriz?
Ön Bilgi: Dik İzdüşüm ve Ortogonallik
Gram-Schmidt Süreci: Adım Adım Algoritma
Çözümlü Örnek 1: R³'te Gram-Schmidt
QR Ayrışımı: Tanım, Türetme ve Özellikler
Çözümlü Örnek 2: Q ve R'nin Hesaplanması ve Doğrulama
Uygulama: En Küçük Kareler ve Doğrusal Sistemler
Çözümlü Örnek 3: QR ile Doğru Uydurma
Çözümlü Örnek 4: Fonksiyon Uzayında Gram-Schmidt
Sayısal Kararlılık: Klasik ve Değiştirilmiş Gram-Schmidt
Simülasyon Rehberi, Karşılaştırma ve Sık Yapılan Hatalar
Anahtar terimler
- Dik izdüşüm (Orthogonal projection)
- $v$ vektörünün $u$ doğrultusundaki bileşeni $\text{proj}_u v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$; kalan $v-\text{proj}_uv$ parçası $u$'ya diktir.
- Ortogonal / ortonormal küme (Orthogonal / orthonormal set)
- Elemanları ikişer ikişer dik olan küme ortogonaldir; ayrıca her elemanın uzunluğu 1 ise ortonormaldir ($e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$). Sıfır içermeyen ortogonal küme bağımsızdır.
- Gram-Schmidt süreci (Gram-Schmidt process)
- Bağımsız $v_1,\dots,v_n$ vektörlerinden $u_k=v_k-\sum_{j<k}\frac{v_k\cdot u_j}{u_j\cdot u_j}u_j$ ile ortogonal $u_k$'ları üreten ve her adımda aynı ara uzayı koruyan algoritma.
- QR ayrışımı (QR decomposition)
- Tam sütun ranklı $A$ için $A=QR$; $Q$ ortonormal sütunlu, $R$ köşegeni pozitif üst üçgen matris. $r_{jk}=e_j\cdot a_k$ ve $r_{kk}=\|u_k\|$.
- Ortogonal matris (Orthogonal matrix)
- Kare ve $Q^{T}Q=I$ olan matris; sütunları ortonormal, $Q^{-1}=Q^{T}$, uzunluk ve açıyı korur, $\det Q=\pm1$.
- En küçük kareler çözümü (Least squares solution)
- $\|b-Ax\|$'i en küçük yapan $\hat{x}$; $A^{T}A\hat{x}=A^{T}b$ ya da $A=QR$ ile $R\hat{x}=Q^{T}b$ sistemini sağlar.
- Geri yerine koyma (Back substitution)
- Üst üçgen sistemi son denklemden başlayıp yukarı doğru çözen yöntem; $R\hat{x}=Q^{T}b$ için kullanılır.
- Değiştirilmiş Gram-Schmidt (Modified Gram-Schmidt)
- Her çıkarmadan sonra vektörü güncelleyerek katsayıları hesaplayan, klasik sürüme göre ortogonallik kaybı $O(u\kappa)$ olan sayısal kararlı varyant.
- Koşul sayısı (Condition number)
- $\kappa(A)$, çözümün girdi hatalarına duyarlılığını ölçer; normal denklemlerde $\kappa(A^{T}A)=\kappa(A)^2$ olduğundan kararlılık kaybı büyür.
Örnek soru
$u=(1,2,2)$ ve $v=(3,2,1)$ olsun. $v$ vektörünün $u$ doğrultusundaki dik izdüşümü $\text{proj}_u v$ aşağıdakilerden hangisidir?
- $(3,6,6)$
- $(1,2,2)$
- $\left(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23\right)$
- $(2,0,-1)$
- $(9,18,18)$
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: $(1,2,2)$
1. İzdüşüm formülü: $\text{proj}_u v=\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u$.
2. $v\cdot u=3\cdot1+2\cdot2+1\cdot2=9$ ve $u\cdot u=1+4+4=9$.
3. Katsayı $9/9=1$ olduğundan $\text{proj}_u v=1\cdot(1,2,2)=\mathbf{(1,2,2)}$.
4. Kontrol: $v-\text{proj}_uv=(2,0,-1)$ ve $(2,0,-1)\cdot(1,2,2)=2-2=0$; kalan parça $u$'ya diktir.
Çeldiriciler: $(9,18,18)$ paydadaki $u\cdot u$'yu unutmaktır; $(3,6,6)$ yalnızca $\|u\|=3$'e bölmektir (kare alınmamış); $\left(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23\right)$ $u$ doğrultusundaki birim vektördür (izdüşüm değil); $(2,0,-1)$ ise izdüşüm değil kalan (dik) parçadır.