Lineer Cebir · 5. Ünite
5. Ünite Deneme Sınavı: Doğrusal Dönüşümler (Linear Transformations)
20 çoktan seçmeli soru · 4 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Doğrusal Dönüşümlere Giriş ve Temel Özellikler (5 soru)
- Doğrusal Dönüşümlerin Çekirdeği (Kernel) ve Görüntü Uzayı (Range) (5 soru)
- Doğrusal Dönüşümlerin Matris Gösterimi (5 soru)
- Benzerlik (Similarity) ve Dönüşümlerin Geometrik Simülasyonları (5 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ doğrusal bir dönüşüm ve $T(1,2)=(3,-1)$ olsun. $T(-2,-4)$ vektörü aşağıdakilerden hangisidir?
- $(6,\,-2)$
- $(-3,\,1)$
- $(-2,\,-4)$
- $(-6,\,2)$
- $(-6,\,-2)$
Doğru cevap: D
Çözüm
Cevap: $(-6,\,2)$
1. $(-2,-4)=-2\,(1,2)$ olduğundan $(-2,-4)$, $(1,2)$'nin $-2$ katıdır.
2. Homojenlikten $T(-2,-4)=T\big(-2\cdot(1,2)\big)=-2\,T(1,2)=-2\,(3,-1)=\mathbf{(-6,\,2)}$.
Çeldiriciler: $(6,-2)$ işaret hatasıdır (katsayı $+2$ alınmış), $(-3,1)$ katsayının $-1$ alınmasıdır, $(-6,-2)$ yalnızca ilk bileşenin ölçeklenmesidir, $(-2,-4)$ ise $T$'nin özdeşlik olduğunu varsaymaktır.
Soru 2
Düzlemde orijin etrafında saat yönünün tersine $90^\circ$ dönmenin standart matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
- $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$
Doğru cevap: A
Çözüm
Cevap: $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$
1. $\theta$ kadar dönmede $\vec{e}_1\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ ve $\vec{e}_2\mapsto(-\sin\theta,\cos\theta)$.
2. $\theta=90^\circ$ için $\vec{e}_1\mapsto(0,1)$ ve $\vec{e}_2\mapsto(-1,0)$.
3. Sütunlar: $[T]=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$\; determinantı $1$'dir.
Çeldiriciler: ikinci seçenek saat yönünde $90^\circ$ dönmedir ($-90^\circ$), üçüncü $x$ eksenine göre yansımadır, dördüncü $y=x$ doğrusuna göre yansımadır, beşinci $180^\circ$ dönmedir.
Sınavın tamamı Lineer Cebir dersini derslerine ekleyince açılır.