Lineer Cebir · 6. Ünite
6. Ünite Deneme Sınavı: Özdeğerler ve Özvektörler (Eigenvalues & Eigenvectors)
20 çoktan seçmeli soru · 5 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Özdeğer ve Özvektör Kavramları (Tanım ve Geometrik Yorum) (4 soru)
- Karakteristik Denklem ve Köklerin Bulunması (4 soru)
- Köşegenleştirme (Diagonalization) (4 soru)
- Karmaşık (Complex) Özdeğerler (4 soru)
- Diferansiyel Denklem Sistemlerine Uygulamalar (İsteğe Bağlı) (4 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
Bir $A$ kare matrisinin özdeğerlerinden biri $0$ ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- $A$ sıfır matrisidir.
- $A$'nın tüm özdeğerleri sıfırdır.
- $\det A\neq0$ ve $A$ tersinirdir.
- $\det A=0$ ve $A$ tersinmezdir.
- $A$'nın hiç özvektörü yoktur.
Doğru cevap: D
Çözüm
Cevap: $\det A=0$ ve $A$ tersinmezdir.
1. $\lambda=0$ özdeğerse sıfırdan farklı bir $\mathbf{v}$ için $A\mathbf{v}=0\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}$ olur.
2. Bu, $\ker A\neq\{\mathbf{0}\}$ demektir; yani $A$ tekildir ve $\det A=0$ olur. Eşdeğer olarak $\det(A-0\cdot I)=\det A=0$.
3. Özdeğerlerin çarpımı $\det A$ olduğundan, çarpımda bir çarpan sıfırsa determinant sıfırdır.
Çeldiriciler: $\lambda=0$ özdeğeri tüm matrisin sıfır olmasını gerektirmez (ör. $\operatorname{diag}(0,5)$'in özdeğerleri $0$ ve $5$'tir). $\mathbf{0}$ özvektör olamaz ama $\lambda=0$'a ait özvektörler, çekirdekteki sıfırdan farklı vektörlerdir, yani vardır.
Soru 2
Aşağıdaki matrislerden hangisi $\mathbb{R}$ üzerinde köşegenleştirilebilirdir?
- $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$
1. Üçgen matrisin özdeğerleri köşegenindedir: $\lambda=1$ ve $\lambda=3$. İki farklı özdeğer iki bağımsız özvektör verir ($(1,0)^T$ ve $(1,1)^T$), dolayısıyla matris köşegenleştirilebilirdir.
2. Diğerleri başarısızdır: A, D ve E şıklarında tek özdeğerin cebirsel katlılığı $2$, geometrik katlılığı $1$'dir (defective). C şıkkı $90^\circ$ dönmedir, özdeğerleri $\pm i$ gerçel değildir.
Doğru cevap B şıkkıdır. A ve D şıkları en çok yapılan hatadır: üçgen matrisin köşegeni $D$ gibi görünür, fakat köşegen üstü eleman özvektör eksikliği yaratır.
Sınavın tamamı Lineer Cebir dersini derslerine ekleyince açılır.