Lineer Cebir · 1. Ünite: Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler
Doğrusal Denklem Sistemlerine Giriş ve Geometrik Yorumlar
Mühendislikte bir devrenin akımlarını, ekonomide bir üretim planını, bilgisayar grafiğinde bir dönüşümü bulmak çoğu zaman aynı soruya iner: birden çok doğrusal denklemi aynı anda sağlayan sayıları bulmak. Bu bölümde doğrusal denklem sistemini (system of linear equations) tanımlayacak, aynı sisteme satır resmi (row picture) ve sütun resmi (column picture) olmak üzere iki geometrik gözle bakacak, genişletilmiş matris (augmented matrix) gösterimini kuracak ve çözüm kümesinin neden yalnızca üç türden biri olabileceğini (tek, sonsuz ya da hiç çözüm) göstereceğiz.
Öğrenme hedefleri
- m denklemli, n bilinmeyenli bir doğrusal sistemi $a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1$ biçiminde yazar; katsayı matrisini ve genişletilmiş matrisi belirler.
- İki bilinmeyenli sistemi doğruların, üç bilinmeyenli sistemi düzlemlerin kesişimi olarak yorumlar ve paralel, çakışık ve kesişen durumları ayırt eder.
- Aynı sistemi $x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{b}$ vektör denklemi olarak yazar ve çözümü sütun vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak yorumlar.
- Bir sistemin tek çözümlü, sonsuz çözümlü ya da çözümsüz olduğunu satır işlemleri ve rank karşılaştırmasıyla belirler; sonsuz çözümde serbest değişkenleri ve parametrik çözümü yazar.
- Bir doğrusal sistemin neden 0, 1 ya da sonsuz sayıda çözüme sahip olabileceğini, iki çözümden geçen doğrunun hep çözüm olduğunu göstererek ispatlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Doğrusal Sistemler Her Yerde
Doğrusal Denklem ve Doğrusal Sistem
Satır Resmi: Doğrular ve Düzlemlerin Kesişimi
Sütun Resmi: Vektörlerin Doğrusal Birleşimi
Matris Gösterimi ve Genişletilmiş Matris
m Denklem, n Bilinmeyen: Genel Tablo
Çözümlü Örnekler
Simülasyonla Keşif ve Çözüm Sınıflarının Özeti
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Sonraki Konulara Bağlantı
Anahtar terimler
- Doğrusal denklem (linear equation)
- a₁x₁ + ⋯ + aₙxₙ = b biçiminde, bilinmeyenlerin yalnızca sayılarla çarpılıp toplandığı denklem; çarpım, kuvvet ya da fonksiyon içermez.
- Doğrusal sistem (system of linear equations)
- Aynı n bilinmeyen üzerinde yazılmış m doğrusal denklemin topluluğu; çözüm, tüm denklemleri birlikte sağlayan n-lidir.
- Satır resmi (row picture)
- Her denklemi bir doğru ya da düzlem olarak çizip çözümü bunların ortak noktaları olarak yorumlayan geometrik bakış.
- Sütun resmi (column picture)
- Sistemi x₁a₁ + ⋯ + xₙaₙ = b vektör denklemi olarak okuyup çözümü sütun vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak yorumlayan bakış.
- Doğrusal birleşim ve kapsam (linear combination, span)
- Vektörlerin skalerlerle çarpılıp toplanmasıyla elde edilen vektör; tüm birleşimlerin kümesine kapsam denir. Sistem, b kapsamda ise tutarlıdır.
- Genişletilmiş matris (augmented matrix)
- Katsayı matrisinin sağına sağ taraf sütununun eklenmesiyle oluşan [A | b] matrisi; sistemin tüm bilgisini taşır.
- Tutarlı / tutarsız (consistent / inconsistent)
- En az bir çözümü olan sisteme tutarlı, hiç çözümü olmayana tutarsız denir; tutarsızlık indirgenmiş matriste [0 ⋯ 0 | c], c ≠ 0 satırı olarak görünür.
- Rank (rank)
- İndirgenmiş basamak biçimindeki sıfırdan farklı satır sayısı. rank A < rank [A|b] ise çözüm yok; eşitse ve n'ye eşitse tek çözüm, n'den küçükse sonsuz çözüm.
- Serbest değişken (free variable)
- Öncü (pivot) sütun taşımayan değişken; istenen her değeri alabilir ve diğer değişkenleri belirler. Sayısı n − rank A'dır.
- Homojen sistem (homogeneous system)
- Sağ tarafı sıfır olan Ax = 0 sistemi; aşikâr çözüm x = 0 olduğundan her zaman tutarlıdır.
Örnek soru
Aşağıdaki denklemlerden hangisi $x$, $y$, $z$ değişkenlerinde bir doğrusal denklemdir?
- $xy+z=3$
- $2x-3y+z=5$
- $x^2+y+z=1$
- $\sin x+y=0$
- $\sqrt{x}+y+z=2$
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: $2x-3y+z=5$
1. Doğrusal denklemde değişkenler yalnızca bir katsayıyla çarpılıp toplanır: $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b$.
2. $2x-3y+z=5$ bu biçimdedir ($a_1=2$, $a_2=-3$, $a_3=1$, $b=5$).
3. Diğerleri değişkenlerin çarpımı ($xy$), kuvveti ($x^2$), trigonometrik fonksiyonu ($\sin x$) ya da kökünü ($\sqrt{x}$) içerir; bunların hiçbiri doğrusal değildir.
Cevap: $2x-3y+z=5$. En sık hata, $x^2$ gibi birinci dereceden olmayan terimlerin de "katsayılı toplama" sayılabileceğini sanmaktır.