Lineer Cebir · 1. Ünite: Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler
Gauss ve Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemleri
Doğrusal denklem sistemleri mühendislikte, ekonomide ve bilgisayar grafiklerinde her yerde karşımıza çıkar; yüzlerce bilinmeyenli sistemleri el ya da bilgisayarla çözmenin tek sistematik yolu satır indirgemedir. Bu konuda üç temel satır işlemini, basamak form (echelon form) ile indirgenmiş basamak formu (reduced echelon form), pivot konumlarını, Gauss yok etme (Gaussian elimination) ve Gauss–Jordan algoritmalarını, geri yerine koyma (back-substitution) ile serbest değişkenli parametrik çözümü Lay ve Strang düzeyinde geliştireceğiz.
Öğrenme hedefleri
- Genişletilmiş matrisi yazar; satır değiştirme, satırı sıfırdan farklı sayıyla çarpma ve bir satırın katını başka satıra ekleme işlemlerinin çözüm kümesini neden değiştirmediğini gerekçelendirir.
- Verilen bir matrisin basamak formda (REF) ya da indirgenmiş basamak formda (RREF) olup olmadığını üç ölçütle denetler; pivot konumlarını ve pivot sütunlarını belirler.
- Gauss yok etme algoritmasının ileri aşamasını uygulayarak herhangi bir matrisi basamak forma, Gauss–Jordan geri aşamasıyla indirgenmiş basamak forma getirir.
- Basamak formdan geri yerine koyma ile çözüm bulur; sistemin tutarsız, tek çözümlü ya da sonsuz çözümlü olduğunu son matristen okur.
- Pivotsuz sütunlardan serbest değişkenleri belirler, genel çözümü parametrik ve vektör biçiminde yazar; çözüm kümesinin boyutunu n − rank ile ilişkilendirir.
- Parametre içeren sistemlerde (örneğin k ve b katsayılı) çözüm sayısını parametrenin değerine göre sınıflandırır.
Konu anlatımı
Bağlam: Büyük Sistemleri Sistematik Çözmek
Genişletilmiş Matris ve Üç Temel Satır İşlemi
Basamak Form, İndirgenmiş Basamak Form ve Pivotlar
Gauss Yok Etme ve Gauss–Jordan Algoritması
Çözüm Kümesinin Okunması: Serbest Değişkenler ve Parametrik Çözüm
Çözümlü Örnekler
Geometrik Yorum ve Simülasyonda Deneyler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Genişletilmiş matris (augmented matrix)
- Katsayı matrisi ile sağ taraf sütununun yan yana yazıldığı $[A\,|\,\mathbf{b}]$ matrisi; doğrusal sistemin tüm bilgisini taşır.
- Temel satır işlemi (elementary row operation)
- Satır değiştirme, bir satırı sıfırdan farklı bir sayıyla çarpma ve bir satıra başka bir satırın katını ekleme işlemlerinden biri; çözüm kümesini değiştirmez ve tersi de temel işlemdir.
- Basamak form (row echelon form, REF)
- Sıfır satırları altta, her öncü girişi bir üst satırınkinin sağında olan matris biçimi; tek değildir.
- İndirgenmiş basamak form (RREF)
- Basamak formda öncü girişlerin $1$ ve bu girişlerin sütunundaki diğer tüm girişlerin $0$ olduğu biçim; her matris için tektir.
- Pivot konumu / pivot sütunu (pivot position/column)
- RREF'teki öncü $1$'lerin bulunduğu konumlar ve bunları içeren sütunlar; pivot sayısı rankı verir.
- Serbest değişken (free variable)
- Pivotsuz bir sütuna karşılık gelen bilinmeyen; istenen değeri alabilir ve diğer değişkenleri (temel değişkenleri) belirler.
- Gauss yok etme (Gaussian elimination)
- Satır işlemleriyle matrisi basamak forma getiren ileri aşama; çözüm geri yerine koyma ile bulunur.
- Gauss–Jordan yok etme
- İleri aşamaya ek olarak pivotları $1$ yapıp üstlerini de sıfırlayan geri aşamayı içeren, matrisi RREF'e getiren yöntem.
- Geri yerine koyma (back-substitution)
- Basamak formun son denkleminden başlayıp temel değişkenleri sırayla çözerek yukarı çıkma işlemi.
- Parametrik çözüm (parametric solution)
- Sonsuz çözümlü sistemde temel değişkenlerin serbest değişkenler (parametreler) cinsinden yazıldığı genel çözüm; özel çözüm + doğrultu vektörleri biçimindedir.
- Tutarsız sistem (inconsistent system)
- Çözümü olmayan sistem; basamak formda $[0\ \cdots\ 0\,|\,b]$, $b\neq0$ satırı bulunur.
Örnek soru
Aşağıdakilerden hangisi bir temel satır işlemi değildir?
- İki satırın yerini değiştirmek
- Bir satırı sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak
- Bir satırın bütün girişlerini $0$ ile çarpmak
- Bir satıra başka bir satırın bir katını eklemek
- Bir satıra başka bir satırı olduğu gibi eklemek
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: Bir satırın bütün girişlerini $0$ ile çarpmak
1. Üç temel işlem: satır değiştirme, sıfırdan farklı bir sayıyla ölçekleme ve $S_i \leftarrow S_i + c\,S_j$ ($i\neq j$) satır toplama.
2. Her temel işlemin tersi yine bir temel işlemdir; bu yüzden çözüm kümesi korunur.
3. Satırı $0$ ile çarpmak denklemi $0=0$ yapar. İşlem tersinmezdir (eski satır geri getirilemez), bilgi kaybolur ve çözüm kümesi büyüyebilir.
Son seçenek $c=1$ için satır toplamanın özel hâlidir; bu yüzden geçerlidir.