Lineer Cebir · 7. Ünite: İleri Konular (Simetrik Matrisler ve Kuadratik Formlar)
Ortogonal Matrisler ve Simetrik Matrislerin Köşegenleştirilmesi
Sütunları birbirine dik birim vektörlerden oluşan ortogonal matrisler, uzunluğu ve açıyı koruyan "katı" dönüşümleri temsil eder\; tersleri devrikleridir. Bu konuda ortogonal matrislerin temel özelliklerini ispatlayacak, ardından gerçel simetrik matrislerin her zaman gerçel özdeğerlere ve birbirine dik özvektörlere sahip olduğunu gösteren Spektral Teoremi ($A = QDQ^T$) kuracağız. Ortogonal köşegenleştirme algoritmasını, tekrarlı özdeğer durumunu ve genel matrisler için Schur ayrışımını çözümlü örneklerle işleyeceğiz\; bu araçlar kuadratik formlar ve tekil değer ayrışımının temelidir.
Öğrenme hedefleri
- $Q^TQ = I$ koşulunu sütunların ortonormallik koşuluna çevirerek bir matrisin ortogonal olup olmadığını sınar\; $Q^{-1} = Q^T$ ilişkisinden terslemeyi devrikle yapar.
- Ortogonal matrislerin $\det Q = \pm 1$, $\|Q\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|$, $(Q\mathbf{x})\cdot(Q\mathbf{y}) = \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}$ özelliklerini ispatlar ve $2\times 2$ ortogonal matrisleri dönme ($\det = 1$) ve yansıma ($\det = -1$) olarak sınıflandırır.
- Gerçel simetrik bir matrisin özdeğerlerinin gerçel, farklı özdeğerlere ait özvektörlerinin birbirine dik olduğunu ispatlar ve bu sonuçları Spektral Teoremin ifadesine bağlar.
- Ortogonal köşegenleştirme algoritmasını (özdeğerler, özuzaylar, Gram-Schmidt ile ortonormal baz, $Q$ ve $D$ kurulumu) uygulayarak $2\times 2$ ve $3\times 3$ simetrik matrisler için $A = QDQ^T$ yazar ve $A = \sum_i \lambda_i \mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^T$ spektral ayrışımını oluşturur.
- Tekrarlı özdeğere sahip simetrik bir matriste özuzay içinde ortonormal baz kurar ve $A^k$ ile $f(A) = Qf(D)Q^T$ hesabını spektral ayrışımla yapar.
- Schur ayrışımını ($A = QTQ^T$) $2\times 2$ bir matris için hesaplar ve simetrik durumda üçgensel $T$'nin köşegen hâle geldiğini açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Dönmeler, Yansımalar ve "Dik" Koordinat Sistemleri
Ortogonal Matris: Tanım ve Denk Koşullar
Ortogonal Matrislerin Özellikleri ve İki Boyutlu Sınıflandırma
Simetrik Matrisler: Gerçel Özdeğerler ve Dik Özvektörler
Spektral Teorem ve Spektral Ayrışım
Ortogonal Köşegenleştirme Algoritması ve Çözümlü Örnekler
Schur Ayrışımı: Simetrik Olmayan Matrisler İçin Ne Kalır?
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Ortogonal matris (orthogonal matrix)
- Sütunları ortonormal olan kare matris\; $Q^TQ = I$, dolayısıyla $Q^{-1} = Q^T$ ve $\det Q = \pm1$. Uzunluk ve açıyı korur.
- Ortonormal küme (orthonormal set)
- Elemanları birbirine dik ve her biri birim uzunlukta olan vektörler kümesi: $\mathbf{q}_i\cdot\mathbf{q}_j = \delta_{ij}$.
- Simetrik matris (symmetric matrix)
- $A = A^T$ koşulunu sağlayan kare matris. İç çarpımla yer değiştirebilir: $(A\mathbf{x})\cdot\mathbf{y} = \mathbf{x}\cdot(A\mathbf{y})$.
- Spektral Teorem (spectral theorem)
- Gerçel simetrik her matris, ortogonal bir $Q$ ve köşegen $D$ ile $A = QDQ^T$ biçiminde yazılabilir\; tersine ortogonal köşegenleştirilebilen gerçel matris simetriktir.
- Ortogonal köşegenleştirme (orthogonal diagonalization)
- Özvektör matrisi ortogonal seçilerek yapılan $A = QDQ^T$ ayrışımı\; $P^{-1}$ hesabı yerine $Q^T$ kullanılır.
- Spektral ayrışım (spectral decomposition)
- $A = \sum_i \lambda_i\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^T$ yazılımı: simetrik matris, dik rank-1 izdüşümlerin özdeğerlerle ağırlıklandırılmış toplamıdır.
- Dik izdüşüm matrisi (orthogonal projection)
- Birim $\mathbf{u}$ için $P = \mathbf{u}\mathbf{u}^T$\; vektörü $\mathbf{u}$ doğrusu üzerine diker. $P^2 = P = P^T$.
- Özuzay (eigenspace)
- Bir $\lambda$ özdeğerine ait tüm özvektörlerin ve sıfır vektörünün oluşturduğu $\text{Null}(A-\lambda I)$ alt uzayı. Simetrik matriste farklı özuzaylar diktir.
- Schur ayrışımı (Schur decomposition)
- Gerçel özdeğerli her kare matris için $A = QTQ^T$\; $Q$ ortogonal, $T$ üst üçgensel ve köşegeni özdeğerlerdir. Simetrik durumda $T$ köşegendir.
- Normal matris (normal matrix)
- $AA^T = A^TA$ koşulunu sağlayan matris\; simetrik, ters simetrik ve ortogonal matrisleri kapsar. Karmaşık sayılarda üniter olarak köşegenleştirilir.
Örnek soru
Aşağıdaki matrislerden hangisi ortogonal bir matristir?
- $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
- $\dfrac15\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$
- $\dfrac15\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $\dfrac15\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$
1. Ortogonal olmak için sütunların hem dik hem birim uzunlukta olması gerekir ($Q^TQ = I$).
2. Seçenek C'de sütunlar $\tfrac15(3,4)$ ve $\tfrac15(-4,3)$: uzunlukları $\tfrac{\sqrt{25}}{5} = 1$ ve iç çarpım $\tfrac{-12+12}{25} = 0$. Dolayısıyla $Q^TQ = I$.
3. Seçenek A'da sütunlar diktir ama uzunlukları $\sqrt2$'dir ($Q^TQ = 2I$). Seçenek D'de sütunlar $\tfrac15(3,3)$ ve $\tfrac15(4,-4)$ diktir ama uzunlukları $\tfrac{\sqrt{18}}{5}$ ve $\tfrac{\sqrt{32}}{5}$'tir. B'de sütunların iç çarpımı $4 \neq 0$, E'de ikinci sütunun uzunluğu $2$'dir.
Cevap: C. En sık hata, yalnızca dikliği kontrol edip birim uzunluğu atlamaktır (A ve D çeldiricileri).