Lineer Cebir · 7. Ünite: İleri Konular (Simetrik Matrisler ve Kuadratik Formlar)
Kuadratik Formlar ve Eksen Dönüşümleri
Bir sarkacın enerjisi, bir elipsin denklemi, bir fonksiyonun kritik noktadaki eğriliği ve bir veri kümesinin kovaryansı aynı cebirsel nesneyle yazılır: kuadratik form $Q(\vec{x})=\vec{x}^{T}A\vec{x}$. Bu bölümde formu simetrik matrisle ilişkilendirecek, çapraz terimleri ortogonal bir eksen dönüşümüyle (asal eksen teoremi) yok edecek, özdeğerlerin işaretinden yüzeyin ve koniğin türünü okuyacak ve birim küre üzerindeki kısıtlı optimizasyonun neden özdeğer problemi olduğunu göreceksin.
Öğrenme hedefleri
- Verilen bir $Q(x_1,\dots,x_n)$ polinomunu $\vec{x}^{T}A\vec{x}$ biçiminde yazar ve çapraz terim katsayılarının yarısını yerleştirerek tek bir simetrik $A$ matrisini kurar.
- Asal eksen teoremini kullanarak $A=PDP^{T}$ ortogonal köşegenleştirmesinden $\vec{y}=P^{T}\vec{x}$ dönüşümünü bulur ve formu $\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2$ biçimine getirir.
- İki ve üç değişkenli bir formu özdeğerlerinin işaretine göre pozitif tanımlı, negatif tanımlı veya belirsiz olarak sınıflandırır.
- $ax^2+2bxy+cy^2=1$ ve genel ikinci derece denklemlerini eksen döndürme ve ötelemeyle sadeleştirip elips, hiperbol veya parabol olarak tanımlar; döndürme açısını $\tan 2\theta=\dfrac{2b}{a-c}$ ile hesaplar.
- $\vec{x}^{T}A\vec{x}=1$ yüzeyini özdeğer işaretlerinden elipsoit, tek yapraklı hiperboloit, çift yapraklı hiperboloit veya silindir olarak tanır ve yarı eksenlerini $1/\sqrt{\lambda_i}$ ile bulur.
- $\|\vec{x}\|=1$ kısıtı altında $Q$ nin maksimum ve minimum değerlerinin $\lambda_{\max}$ ve $\lambda_{\min}$ olduğunu gösterir ve bu değerleri alan birim vektörleri belirler.
Konu anlatımı
Bağlam: İkinci Derece İfadeler Her Yerde
Kuadratik Form ve Simetrik Matris
Asal Eksen Teoremi: Çapraz Terimleri Yok Etmek
Çözümlü Örnekler
Sınıflandırma: Özdeğerlerin İşareti
Konik Kesitler
Üç Boyutlu Yüzeyler
Birim Küre Üzerinde Kısıtlı Optimizasyon
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Kuadratik form (Quadratic form)
- Her terimi ikinci dereceden olan $Q(\vec{x})=\vec{x}^{T}A\vec{x}$ biçimindeki skaler değerli fonksiyon; $A$ simetrik seçilir.
- Çapraz terim (Cross term)
- $x_ix_j$ ($i\neq j$) biçimindeki terim; simetrik matriste $a_{ij}=a_{ji}$ konumlarına katsayının yarısı yazılır.
- Asal eksenler (Principal axes)
- $A$ nın ortonormal özvektörlerinin doğrultuları; bu eksenlerde form çapraz terimsiz yazılır.
- Asal eksen teoremi (Principal axes theorem)
- Simetrik $A$ için ortogonal $\vec{x}=P\vec{y}$ dönüşümü formu $\sum\lambda_iy_i^2$ biçimine getirir.
- Pozitif tanımlı (Positive definite)
- Tüm $\vec{x}\neq\vec{0}$ için $Q(\vec{x})>0$; eşdeğer olarak tüm özdeğerler pozitiftir.
- Belirsiz form (Indefinite form)
- Hem pozitif hem negatif değer alan form; özdeğerlerin işareti karışıktır, $Q=1$ hiperbol veya hiperboloit verir.
- Konik kesit (Conic section)
- İkinci derece denklemin düzlemdeki çözüm kümesi: elips, hiperbol, parabol veya dejenere biçimler.
- Kuadrik yüzey (Quadric surface)
- Üç değişkenli ikinci derece denklemin çözüm kümesi; elipsoit, hiperboloit, silindir vb.
- Rayleigh bölümü (Rayleigh quotient)
- $\vec{x}^{T}A\vec{x}/\vec{x}^{T}\vec{x}$ oranı; en büyük değeri $\lambda_{\max}$, en küçük değeri $\lambda_{\min}$ dir.
- Ortogonal köşegenleştirme (Orthogonal diagonalization)
- $A=PDP^{T}$ ayrışımı; $P$ ortogonal, $D$ özdeğerlerden oluşan köşegen matristir.
Örnek soru
$Q(x,y)=3x^2-4xy+5y^2$ kuadratik formunu $\vec{x}^{T}A\vec{x}$ biçiminde yazan simetrik $A$ matrisi hangisidir?
- $\begin{bmatrix}3&-4\\-4&5\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}3&-4\\0&5\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}3&2\\2&5\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}3&-2\\-2&5\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}3&-1\\-1&5\end{bmatrix}$
Doğru cevap: D
Çözüm
Cevap: $\begin{bmatrix}3&-2\\-2&5\end{bmatrix}$
1. Köşegene $x^2$ ve $y^2$ katsayıları yazılır: $a_{11}=3$, $a_{22}=5$.
2. Çapraz terim $-4xy$ ifadesindeki $-4$, $a_{12}+a_{21}$ toplamına eşittir. Simetrik matriste $a_{12}=a_{21}$ olduğundan her birine yarısı yazılır: $a_{12}=a_{21}=-2$.
3. Kontrol: $\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-2\\-2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=3x^2-2xy-2xy+5y^2=3x^2-4xy+5y^2$.
Çeldiriciler: $-4$ yazılan matris $3x^2-8xy+5y^2$ verir (yarıya bölmeyi unutmak). Üst üçgen matris formu doğru üretir ama simetrik değildir. $+2$ işaret hatasıdır, $-1$ ise rastgele bir katsayıdır.