Lineer Cebir · 7. Ünite: İleri Konular (Simetrik Matrisler ve Kuadratik Formlar)
Pozitif/Negatif Tanımlı Matrisler
Bir simetrik matris her yöne bir sayı atar: $Q(\vec{x})=\vec{x}^{T}A\vec{x}$. Bu sayı her yönde pozitifse matris pozitif tanımlıdır (positive definite) ve $Q$ bir çanak gibi tek bir minimuma sahiptir; bazı yönlerde pozitif bazı yönlerde negatifse yüzey bir eyerdir. Bu bölümde beş denk testi (özdeğerler, önder minörler, pivotlar, Cholesky çarpanlaması, $\vec{x}^{T}A\vec{x}$ işareti) kurup ispatlayacak, yarı tanımlı, negatif tanımlı ve belirsiz durumları ayıracak, enerji fonksiyonları, optimizasyon ve kovaryans matrislerindeki rolünü göreceğiz.
Öğrenme hedefleri
- Simetrik bir $A$ matrisi için $\vec{x}^{T}A\vec{x}$ kuadratik formunu açık polinom olarak yazar ve matrisi pozitif tanımlı, pozitif yarı tanımlı, negatif tanımlı, negatif yarı tanımlı ya da belirsiz olarak sınıflandırır.
- Pozitif tanımlılığın denk koşullarını (tüm özdeğerler pozitif, tüm önder minörler pozitif, tüm pivotlar pozitif, $A=LL^{T}$ Cholesky çarpanlaması) uygular ve aralarındaki bağlantıyı $A=LDL^{T}$ ve spektral ayrışımla ispatlar.
- Sylvester ölçütünü $2\times2$ ve $3\times3$ matrislerde, parametre içeren (ör. $k$ değerine bağlı) durumlarda tanımlılık aralığını bularak kullanır.
- $3\times3$ pozitif tanımlı bir matrisin Cholesky çarpanını $l_{ij}$ formülleriyle hesaplar, $A=LL^{T}$ eşitliğini doğrular ve $A\vec{x}=\vec{b}$ sistemini iki üçgensel sistemle çözer.
- Tanımlılığın cebirsel özelliklerini (toplam, ters, $B^{T}AB$, Gram matrisi $B^{T}B$) gerekçelendirir ve yarı tanımlılık için önder minörlerin yetmediğini karşı örnekle gösterir.
- Kuadratik formun işaretini enerji fonksiyonu, Hessian ile kritik nokta sınıflandırması ve kovaryans matrisi bağlamında yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Enerji, Minimum ve Varyans
Kuadratik Form ve Tanımlılık Sınıfları
Beş Denk Koşul ve İspatları
Cholesky Çarpanlaması ve Kullanımı
Çözümlü Örnekler
Cebirsel Özellikler ve Yarı Tanımlılık
Uygulamalar: Enerji, Optimizasyon ve Kovaryans
Simülasyonla Keşif
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Kuadratik form (quadratic form)
- Simetrik $A$ için $Q(\vec{x})=\vec{x}^{T}A\vec{x}$ ile verilen, değişkenlerde ikinci dereceden homojen polinom.
- Pozitif tanımlı (positive definite)
- Her $\vec{x}\ne\vec{0}$ için $\vec{x}^{T}A\vec{x}>0$ olan simetrik matris; bütün özdeğerleri pozitiftir.
- Pozitif yarı tanımlı (positive semidefinite)
- Her $\vec{x}$ için $\vec{x}^{T}A\vec{x}\ge0$ olan simetrik matris; özdeğerleri $\ge0$, en az biri $0$ olabilir.
- Negatif tanımlı (negative definite)
- Her $\vec{x}\ne\vec{0}$ için $\vec{x}^{T}A\vec{x}<0$ olan matris; $-A$ pozitif tanımlıdır.
- Belirsiz (indefinite)
- Hem pozitif hem negatif $\vec{x}^{T}A\vec{x}$ değerleri alan matris; özdeğerleri zıt işaretlidir (eyer yüzeyi).
- Sylvester ölçütü
- Simetrik $A$ pozitif tanımlıdır $\iff$ bütün önder asal minörler $\Delta_k>0$.
- Önder asal minör (leading principal minor)
- $A$'nın sol üst $k\times k$ alt matrisinin determinantı $\Delta_k$.
- Cholesky çarpanlaması
- Pozitif tanımlı $A$ için köşegeni pozitif alt üçgensel $L$ ile $A=LL^{T}$ yazılışı; biriciktir.
- Pivot
- Satır değişimsiz Gauss yok etmede köşegen üzerinde kalan sayılar; $d_k=\Delta_k/\Delta_{k-1}$.
- Gram matrisi
- $B^{T}B$ biçimindeki matris; daima pozitif yarı tanımlıdır, $B$'nin sütunları bağımsızsa pozitif tanımlıdır.
Örnek soru
Simetrik bir $A$ matrisinin pozitif tanımlı olması aşağıdakilerden hangisiyle tanımlanır?
- Matrisin bütün girdilerinin pozitif olması.
- $\det A>0$ olması.
- En az bir $\vec{x}\neq\vec{0}$ için $\vec{x}^{T}A\vec{x}>0$ olması.
- Her $\vec{x}\neq\vec{0}$ için $\vec{x}^{T}A\vec{x}>0$ olması.
- Her $\vec{x}$ için $\vec{x}^{T}A\vec{x}\ge0$ olması.
Doğru cevap: D
Çözüm
Cevap: Her $\vec{x}\neq\vec{0}$ için $\vec{x}^{T}A\vec{x}>0$ olması.
1. Pozitif tanımlılık, kuadratik formun sıfırdan farklı her yönde kesin pozitif olmasıdır: $Q(\vec{x})=\vec{x}^{T}A\vec{x}>0$, $\vec{x}\neq\vec{0}$.
2. Bu koşul spektral teoremle "bütün özdeğerler pozitif" demektir, çünkü $\vec{x}^{T}A\vec{x}=\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2$ yazılır.
Çeldiriciler: "bütün girdiler pozitif" ve "$\det A>0$" gerekli ya da yeterli değildir (ör. $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ girdileri pozitif ama belirsizdir). "En az bir $\vec{x}$" koşulu belirsiz matrislerde de sağlanır. $\ge0$ koşulu ise yarı tanımlılığın tanımıdır.