Lineer Cebir · 3. Ünite: Vektör Uzayları (Vector Spaces)
Taban (Basis) ve Boyut (Dimension) Kavramları
Bir vektör uzayının sonsuz sayıda vektörü vardır, ama onu "tamamen tarif etmek" için çoğu zaman birkaç vektör yeter. Taban (basis), uzayı geren ve gereksiz hiçbir vektör içermeyen en ekonomik tarif listesidir; tabandaki vektör sayısı uzayın boyutunu (dimension) verir. Bu konuda tabanı tanımlayacak, her vektörün bir tabana göre tek türlü yazıldığını ispatlayacak, boyutun iyi tanımlı olduğunu göreceksin ve geren bir kümeden taban ayıklamayı ya da bağımsız bir kümeyi tabana tamamlamayı pratik olarak yapacaksın.
Öğrenme hedefleri
- Bir kümenin taban olması için gereken iki koşulu (lineer bağımsızlık ve germe) birlikte sınar; $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{P}_n$ ve $M_{m\times n}$ için standart tabanları yazar.
- Tek temsil teoremini ispatlar ve bir vektörün $B$ tabanına göre koordinat vektörünü $[\vec{v}]_B$ lineer sistem çözerek hesaplar.
- Bir uzayın tüm tabanlarının aynı sayıda vektör içerdiğini (boyutun iyi tanımlılığını) değişim argümanıyla açıklar ve $\dim\mathbb{R}^n$, $\dim\mathbb{P}_n$, $\dim M_{m\times n}$ değerlerini bulur.
- Geren bir kümeden taban seçer: satır indirgeme ile pivot sütunları belirler ve bağımlı vektörleri tabanın kombinasyonu olarak yazar.
- Bağımsız bir kümeyi standart vektörler ekleyerek uzayın tabanına tamamlar; $n$ boyutlu uzayda "$n$ vektör" kısayollarını (bağımsızsa geriyor, geriyorsa bağımsız) doğru kullanır.
- Bir alt uzayın boyutunu (serbest değişken sayısı, kısıt sayısı) hesaplar ve $W \subseteq V$ ile $\dim W = \dim V$ ise $W = V$ olduğunu uygular.
Konu anlatımı
Bağlam: Sonsuz Uzayı Birkaç Sayıyla Tarif Etmek
Taban Tanımı ve Standart Tabanlar
Tek Temsil Teoremi ve Koordinatlar
Boyut: Tabanların Eleman Sayısı Neden Aynıdır?
Boyutun Sonuçları: "n Vektör" Kısayolları ve Alt Uzaylar
Geren Kümeden Taban Ayıklamak ve Tabana Tamamlamak
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Taban (Basis)
- Vektör uzayını geren ve lineer bağımsız olan vektör kümesi. Hem germe hem bağımsızlık koşulu aynı anda sağlanır.
- Standart taban (Standard basis)
- $\mathbb{R}^n$ için $i$. bileşeni $1$, diğerleri $0$ olan $\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n$ vektörleri; $\mathbb{P}_n$ için $\{1,x,\dots,x^n\}$.
- Boyut (Dimension)
- Bir vektör uzayının herhangi bir tabanındaki vektör sayısı. Tabanın seçimine bağlı değildir; $\dim\mathbb{R}^n=n$, $\dim\mathbb{P}_n=n+1$, $\dim M_{m\times n}=mn$.
- Koordinat vektörü (Coordinate vector)
- $\vec{v}=c_1\vec{b}_1+\cdots+c_n\vec{b}_n$ ise $B$ tabanına göre $[\vec{v}]_B=(c_1,\dots,c_n)$ vektörü. Sıralı tabana bağlıdır.
- Tek temsil teoremi (Unique representation theorem)
- Taban verildiğinde uzaydaki her vektörün tabanın lineer kombinasyonu olarak yalnızca bir biçimde yazılabileceğini söyleyen teorem; ispatı bağımsızlığa dayanır.
- Pivot sütun (Pivot column)
- Satır indirgenmiş biçimde öncü $1$ içeren sütun. Matrisin orijinal pivot sütunları sütun uzayı için bir taban oluşturur.
- Sonlu / sonsuz boyutlu uzay
- Sonlu bir tabanı olan uzay sonlu boyutludur; tüm polinomların uzayı $\mathbb{P}$ ya da sürekli fonksiyonlar uzayı gibi sonlu tabanı olmayanlar sonsuz boyutludur.
- Mertebe (Rank)
- Bir kümenin ya da matrisin sütunlarının spanının boyutu; bağımsız vektörlerin en büyük sayısı.
- Tabana tamamlama (Extension to a basis)
- Bağımsız bir kümeye, uzayı tamamen gerecek şekilde yeni vektörler ekleyerek tabana ulaşma işlemi.
Örnek soru
Aşağıdaki kümelerden hangisi $\mathbb{R}^2$ için bir tabandır?
- $\{(1,2),\ (2,4)\}$
- $\{(1,0)\}$
- $\{(1,2),\ (3,4)\}$
- $\{(1,0),\ (0,1),\ (1,1)\}$
- $\{(0,0),\ (1,1)\}$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $\{(1,2),(3,4)\}$
1. $\dim\mathbb{R}^2=2$ olduğundan tabanda tam $2$ vektör bulunmalı; bu iki vektör bağımsız olmalıdır.
2. $\{(1,2),(3,4)\}$ için $\det\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}=4-6=-2\neq0$; sütunlar bağımsızdır ve $\mathbb{R}^2$'yi gerer. Taban.
Çeldiriciler: $(2,4)=2(1,2)$ olduğundan ilk küme bağımlıdır; $\{(1,0)\}$ yalnızca $x$ eksenini gerer (eksik); üç vektörlü küme geriyor ama $\mathbb{R}^2$'de $3$ vektör daima bağımlıdır (fazla); sıfır vektör içeren küme bağımlıdır.