Lineer Cebir · 3. Ünite: Vektör Uzayları (Vector Spaces)
Bir Matrisin Satır Uzayı, Sütun Uzayı ve Sıfır Uzayı (Null Space)
Bir $m\times n$ matris yalnızca bir sayı tablosu değildir; $\mathbb{R}^n$ içindeki iki ve $\mathbb{R}^m$ içindeki iki altuzayı belirleyen bir nesnedir. Bu bölümde satır uzayını (row space), sütun uzayını (column space), sıfır uzayını (null space) ve sol sıfır uzayını tanımlayıp her birinin tabanını RREF ile nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Sonunda rank ile nullity arasındaki bağı veren Rank-Nullity Teoremi ($\text{rank}+\text{nullity}=n$) ile $Ax=b$ sistemlerinin çözülebilirliğini ve çözüm kümesinin yapısını tek bir resimde yorumlayabileceksiniz.
Öğrenme hedefleri
- Bir matrisin satır uzayını, sütun uzayını ve sıfır uzayını kümeler olarak tanımlar; $T(x)=Ax$ dönüşümünün görüntü kümesinin (range) $\text{Col}(A)$, çekirdeğinin (kernel) $\text{Null}(A)$ olduğunu açıklar.
- Matrisi RREF biçimine getirerek $\text{Row}(A)$ için taban olarak sıfırdan farklı satırları, $\text{Col}(A)$ için taban olarak orijinal matrisin pivot sütunlarını seçer.
- $Ax=0$ sisteminin serbest değişkenlerinden özel çözümler (special solutions) üreterek $\text{Null}(A)$ için taban yazar.
- Rank (derece) ve nullity (sıfırlık) kavramlarını tanımlar, satır rankının sütun rankına eşit olduğunu pivot sayısıyla gerekçelendirir.
- Rank-Nullity Teoremini ($\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n$) ispatlar ve verilen bir matrisin ya da lineer dönüşümün boyutlarını bu teoremle kontrol eder.
- Sol sıfır uzayını $\text{Null}(A^T)$ ile birlikte dört temel altuzayın boyutlarını ($r,\;n-r,\;r,\;m-r$) ve diklik ilişkisini kullanarak $Ax=b$ sisteminin çözülebilirliğini ve çözüm kümesini yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Ax = b Ne Zaman Çözülür, Çözümler Ne Kadar Geniştir?
Üç Temel Altuzay: Tanımlar
Tabanlar RREF ile Nasıl Bulunur?
Rank, Nullity ve Rank-Nullity Teoremi
Çözümlü Örnekler
Dört Temel Altuzayın Büyük Resmi
Simülasyonla Keşfedin
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Sütun uzayı (column space)
- Matrisin sütunlarının tüm lineer kombinasyonlarından oluşan altuzay; $T(x)=Ax$ dönüşümünün görüntü kümesi (range). $\mathbb{R}^m$ içindedir.
- Satır uzayı (row space)
- Matrisin satırlarının gerdiği altuzay, $\text{Row}(A)=\text{Col}(A^T)$. $\mathbb{R}^n$ içindedir ve satır işlemleriyle değişmez.
- Sıfır uzayı (null space)
- $Ax=\vec{0}$ sisteminin tüm çözümlerinin kümesi; $T(x)=Ax$ dönüşümünün çekirdeği (kernel). $\mathbb{R}^n$ içindedir.
- Sol sıfır uzayı (left null space)
- $A^T y=\vec{0}$ denklemini sağlayan $y\in\mathbb{R}^m$ vektörlerinin kümesi; $\text{Null}(A^T)$ ve $\text{Col}(A)^{\perp}$ ile aynıdır.
- Rank (derece)
- Sütun uzayının boyutu; aynı zamanda satır uzayının boyutu ve RREF'teki pivot sayısıdır.
- Nullity (sıfırlık)
- Sıfır uzayının boyutu; serbest değişken sayısına, yani $n-\text{rank}(A)$ değerine eşittir.
- Rank-Nullity Teoremi
- $m\times n$ bir matris için $\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n$.
- Pivot ve serbest değişken
- RREF'te her satırın ilk 1'inin bulunduğu sütun pivot, geri kalan sütunlar serbest sütundur; serbest değişkenler sıfır uzayının parametreleridir.
- Özel çözüm (special solution)
- Bir serbest değişkeni 1, diğerlerini 0 alıp elde edilen $Ax=0$ çözümü; bunlar sıfır uzayı için taban oluşturur.
- Dört temel altuzay
- $\text{Row}(A)$, $\text{Null}(A)$ ($\mathbb{R}^n$'de) ve $\text{Col}(A)$, $\text{Null}(A^T)$ ($\mathbb{R}^m$'de); boyutları $r,\;n-r,\;r,\;m-r$.
Örnek soru
$A$, $4\times6$ boyutunda ve $\text{rank}(A)=3$ olan bir matristir. $\text{nullity}(A)=\dim\text{Null}(A)$ kaçtır?
- $1$
- $2$
- $3$
- $6$
- $9$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $3$
1. Rank-Nullity Teoremi: $\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n$, burada $n$ sütun sayısıdır.
2. $n=6$ ve $\text{rank}(A)=3$ olduğundan $\text{nullity}(A)=6-3=\mathbf{3}$.
Çeldiriciler: $1=m-\text{rank}=4-3$ sol sıfır uzayının boyutudur (satır sayısı kullanılmış), $2=n-m$ yalnızca tam satır ranklı matrisler için geçerli bir sayıdır, $9=\text{rank}+n$ toplamdır, $6$ ise $n$'nin kendisidir.