Lineer Cebir · 3. Ünite: Vektör Uzayları (Vector Spaces)

Taban Değişimi (Change of Basis) ve Geçiş Matrisleri

Aynı vektör, seçilen tabana göre farklı sayılarla (koordinatlarla) yazılır; aynı doğrusal dönüşüm de farklı matrislerle temsil edilir. Bu konuda koordinat vektörünü, bir tabandan diğerine geçiş matrisini ve onu $[C\,|\,B]\to[I\,|\,P]$ satır indirgemesiyle hesaplamayı öğrenecek, ardından dönüşüm matrisinin $[T]_C = P^{-1}[T]_B P$ ile nasıl değiştiğini ve benzer matrislerin (similar matrices) neyi değiştirmeyip neyi koruduğunu göreceksin. Sonuç, köşegenleştirmenin (diagonalization) geometrik gerekçesidir: doğru tabanı seçersen karmaşık bir dönüşüm basit bir ölçeklemeye indirgenir.

Öğrenme hedefleri

Konu anlatımı

  1. Bağlam: Aynı Nesne, Farklı Adresler

  2. Koordinat Vektörü (Coordinate Vector)

  3. Geçiş Matrisi (Transition Matrix) ve Türetilmesi

  4. Geçiş Matrisini Hesaplamak: [C | B] → [I | P]

  5. Polinom Uzayında Taban Değişimi

  6. Doğrusal Dönüşümlerin Taban Değişimi: [T]_C = P⁻¹[T]_B P

  7. Benzer Matrisler (Similar Matrices)

  8. Simülasyona Köprü: Görerek Doğrula

  9. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Sıralı taban (ordered basis)
Vektörlerin sırasının önemli olduğu taban. $B=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ ile $\{\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_1,\dots\}$ farklı sıralı tabanlardır ve koordinatların sırasını değiştirir.
Koordinat vektörü (coordinate vector)
$\mathbf{x}=\sum\beta_i\mathbf{b}_i$ yazılışındaki tek türlü katsayılardan oluşan $[\mathbf{x}]_B=(\beta_1,\dots,\beta_n)^T$ sütun vektörü. $\mathbb{R}^n$'de $[\mathbf{x}]_B=B^{-1}\mathbf{x}$.
Geçiş matrisi (transition matrix)
$P_{C\leftarrow B}$: sütunları $[\mathbf{b}_j]_C$ olan ve $[\mathbf{x}]_C=P_{C\leftarrow B}[\mathbf{x}]_B$ eşitliğini sağlayan terslenebilir matris.
Ters geçiş
$P_{B\leftarrow C}=P_{C\leftarrow B}^{-1}$. Geçiş matrisi daima terslenebilirdir ve tersi ters yöndeki geçişi verir.
$[C\,|\,B]\to[I\,|\,P]$ yöntemi
Yeni tabanı sola, eski tabanı sağa yazıp Gauss-Jordan ile sol bloğu birim matrise indirgemek. Sağ blok $C^{-1}B=P_{C\leftarrow B}$ olur.
Dönüşüm matrisi (matrix of a transformation)
$[T]_B$: $j$. sütunu $[T(\mathbf{b}_j)]_B$ olan, $[T(\mathbf{x})]_B=[T]_B[\mathbf{x}]_B$ eşitliğini sağlayan matris. Tabana bağlıdır, dönüşümün kendisi bağlı değildir.
Benzer matrisler (similar matrices)
$B=P^{-1}AP$ olacak şekilde terslenebilir $P$ varsa $A\sim B$. Aynı dönüşümün farklı tabanlardaki matrisleridir.
Benzerlik invariantları
Benzer matrislerin ortak özellikleri: determinant, iz, karakteristik polinom, özdeğerler, rank. Eşitlikleri benzerlik için gerekli ama yeterli değildir.
Köşegenleştirme (diagonalization)
$P^{-1}AP=D$ köşegen olacak şekilde bir $P$ bulmak; $P$'nin sütunları $A$'nın özvektörlerinden oluşan tabandır ve $A^n=PD^nP^{-1}$.

Örnek soru

$\mathbb{R}^2$'de $B=\{(1,0),\,(1,1)\}$ sıralı tabanı ve $\mathbf{x}=(5,3)$ verilsin. $[\mathbf{x}]_B$ koordinat vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

  1. $(5,3)$
  2. $(2,3)$
  3. $(3,2)$
  4. $(8,3)$
  5. $(3,5)$

Doğru cevap: B

Çözüm

Cevap: $(2,3)$
1. $\mathbf{x}=\beta_1(1,0)+\beta_2(1,1)=(\beta_1+\beta_2,\ \beta_2)$ olmalıdır.
2. İkinci bileşenden $\beta_2=3$, birinci bileşenden $\beta_1+3=5$, yani $\beta_1=2$ bulunur.
3. Kontrol: $2(1,0)+3(1,1)=(5,3)$. Böylece $[\mathbf{x}]_B=\mathbf{(2,3)}$.
Çeldiriciler: $(5,3)$ vektörün standart koordinatlarıdır (taban değiştirmeyi unutmak), $(8,3)$ $B^{-1}$ yerine $B$ ile çarpmaktır, $(3,2)$ koordinatların sırasını ters yazmaktır.

Lineer Cebir: tüm konular