Modern Fizik · 10. Ünite: Çekirdek Fiziği
Bağlanma Enerjisi ve Sıvı Damlası Modeli
Bir çekirdeğin kütlesi, onu oluşturan serbest proton ve nötronların kütleleri toplamından küçüktür; aradaki fark $E=\Delta m\,c^2$ kadar enerji olarak çekirdeği bir arada tutar. Bu bölümde kütle kusurunu ve bağlanma enerjisini hesaplar, nükleon başına bağlanma enerjisi (B/A) eğrisinin füzyon ve fisyondan enerji alınabilmesini nasıl açıkladığını görür ve Weizsäcker yarı-deneysel kütle formülünün beş teriminin fiziksel kaynağını sıvı damlası modeliyle yorumlarsın.
Öğrenme hedefleri
- Atomik kütlelerden kütle kusurunu ve bağlanma enerjisini $B=[Zm_H+Nm_n-M]c^2$ ile hesaplar; B ile B/A'yı ayırt eder.
- B/A eğrisinin şeklini (A≈56–62'de maksimum, hafif ve ağır uçlarda düşüş) yorumlar ve Fe-56 ile Ni-62 arasındaki incelikli farkı açıklar.
- Füzyon ve fisyonda açığa çıkan enerjiyi kütle farkından ve B/A farkından tahmin eder; birim kütle başına enerjiyi karşılaştırır.
- Weizsäcker formülünün hacim, yüzey, Coulomb, asimetri ve çiftlenme terimlerini fiziksel kökenleriyle açıklar ve belirli bir çekirdek için sayısal olarak hesaplar.
- SEMF'ten $\partial B/\partial Z=0$ koşuluyla kararlılık vadisi $Z_0(A)$ ifadesini türetir ve değerlendirir.
- Sihirli sayıları ve SEMF'in sınırlarını (He-4, kabuk etkileri) niteliksel olarak açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: kütlenin enerji yüzü
Kütle kusuru ve bağlanma enerjisi
B/A eğrisi: füzyon ve fisyon
Sıvı damlası modeli: Weizsäcker kütle formülü
Çözümlü örnekler
Sihirli sayılar ve modelin sınırları
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Kütle kusuru (mass defect)
- Serbest nükleonların toplam kütlesi ile çekirdeğin kütlesi arasındaki fark, $\Delta m = Zm_H + Nm_n - M$.
- Bağlanma enerjisi (binding energy)
- Çekirdeği serbest nükleonlarına ayırmak için gereken enerji, $B = \Delta m\,c^2$.
- B/A eğrisi
- Nükleon başına bağlanma enerjisinin kütle numarasına göre grafiği; $A\approx56\text{–}62$'de $\approx8{,}8\,\text{MeV}$ ile maksimumdur.
- Füzyon (fusion)
- Hafif çekirdeklerin birleşmesi; $A\lesssim60$'ta B/A artar ve enerji açığa çıkar.
- Fisyon (fission)
- Ağır çekirdeğin bölünmesi; $A\gtrsim60$'ta B/A artar ve enerji açığa çıkar.
- Weizsäcker formülü (SEMF)
- Sıvı damlası modeline dayanan yarı-deneysel kütle formülü; hacim, yüzey, Coulomb, asimetri ve çiftlenme terimlerinden oluşur.
- Asimetri enerjisi
- Pauli ilkesi nedeniyle $N\neq Z$ durumunda bağlanmayı azaltan terim, $-a_A(A-2Z)^2/A$.
- Çiftlenme terimi
- Çift–çift çekirdekleri sıkı bağlayan, tek–tek çekirdekleri gevşek bağlayan $\pm a_P/\sqrt A$ düzeltmesi.
- Sihirli sayılar
- $2,8,20,28,50,82,126$; kapalı kabuk oluşturup çekirdeği özellikle kararlı yapan proton/nötron sayıları.
Örnek soru
$M(^{4}\text{He}) = 4{,}002603\,u$ ve $m_H = 1{,}007825\,u$, $m_n = 1{,}008665\,u$, $1\,u = 931{,}494\,\text{MeV}/c^2$ olduğuna göre $^{4}\text{He}$'nin toplam bağlanma enerjisi yaklaşık kaç MeV'dir?
- 28,3 MeV
- 7,07 MeV
- 14,2 MeV
- 56,6 MeV
- 0,0304 MeV
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $\Delta m = 2(1{,}007825) + 2(1{,}008665) - 4{,}002603 = 0{,}030377\,u$.
2. $B = 0{,}030377\cdot931{,}494 = 28{,}3\,\text{MeV}$.
28,3 MeV. "7,07" nükleon başına değerdir ($B/A$), "56,6" iki kat alınmış, "14,2" yarıya bölünmüş, "0,0304" ise $\Delta m$'nin $u$ cinsinden değerinin MeV sanılmasıdır.