10. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Sayılar
Asal Çarpanlar ve Bölenler
36 öğrenciyi eşit sayıda kişiden oluşan gruplara kaç farklı biçimde ayırabilirsin? Tek tek denemek yerine sayının yapısına bakarak cevabı bir çarpma işlemiyle bulabilirsin. Bu konuda her sayıyı asal çarpanlarının çarpımı olarak yazacak, bölenlerin bu çarpanlardan nasıl kurulduğunu keşfedecek ve bölen sayısını veren genellemeyi kendin sınayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.3.1.a. Bir doğal sayıyı asal çarpanlarının çarpımı olarak yazar; asal çarpanları ve bölenleri hakkında varsayımlarda bulunur.
- MAT.10.3.1.b. Farklı sayıların bölenlerini listeleyerek örüntüyü bulur ve bölen sayısı için genelleme yapar.
- MAT.10.3.1.c. Genellemesini yeni sayılarla sınar; geçersiz bir genellemeyi karşı örnekle çürütür.
- MAT.10.3.1.ç. $n = p_1^{a}\cdot p_2^{b}\cdots$ için pozitif bölen sayısının $(a+1)(b+1)\cdots$ olduğunu ve bölen sayısı tek olan sayıların tam kare olduğunu açıklar.
- MAT.10.3.1.d. Bölen ve asal çarpan ilişkisini gruplama, düzenleme ve kodlama gibi gerçek yaşam problemlerinde kullanır.
Konu anlatımı
1. Çarpımın yapı taşları: asal sayılar
2. Asal çarpanlara ayırma ve tek türlü ayrılış
3. Bölenleri asal çarpanlardan kurmak
4. Bölen çiftleri ve tam kare sayılar
5. Çözümlü örnekler
6. Varsayım kur, sına, çürüt
7. Sık yapılan hatalar
Anahtar terimler
- Asal sayı
- Tam iki pozitif böleni (1 ve kendisi) olan, 1'den büyük doğal sayı.
- Bileşik sayı
- İkiden fazla pozitif böleni olan doğal sayı.
- Bölen
- Bir sayıyı kalansız bölen doğal sayı.
- Asal çarpan
- Verilen sayıyı bölen asal sayı; 360'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
- Asal çarpanlarına ayırma
- Bir sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazma; çarpanların sırası dışında tek türlü yapılır.
- Çarpan ağacı
- Sayıyı çarpanlarına ayırarak dallandıran, yaprakları asal olan gösterim.
- Bölen sayısı $\tau(n)$
- $n = p_1^{a}\cdot p_2^{b}\cdots$ için $(a+1)(b+1)\cdots$ olan pozitif bölen adedi.
- Bölen çifti
- $d\cdot e = n$ olacak biçimde $(d, e)$ bölen ikilisi.
- Tam kare
- Bir doğal sayının karesi olan sayı; bölen sayısı tektir.
- Karşı örnek
- Bir genellemenin yanlışlığını göstermek için yeterli tek bir örnek.
Örnek soru
84 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
- 2 · 3 · 14
- 4 · 3 · 7
- 2² · 21
- 2² · 3 · 7
- 2 · 42
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Art arda bölelim: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1.
2. Bölenler 2, 2, 3, 7 olduğundan $84 = 2^2\cdot 3\cdot 7$.
3. Diğer seçeneklerde 14, 4, 21 ve 42 asal olmayan çarpanlardır; ayrılış asal çarpanlara kadar sürdürülmelidir.
Doğru cevap: D.