10. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Sayılar
EBOB ve EKOK
İki ışık farklı aralıklarla yanıp sönüyor; ne zaman aynı anda yanarlar? Bir zemini hiç kesmeden eş karolarla döşemek için karo kenarı en fazla kaç olabilir? İkisi de aynı iki sayının ortak bölenlerine ve ortak katlarına bakar. Bu konuda en büyük ortak böleni (EBOB) ve en küçük ortak katı (EKOK) asal çarpanlarla bulacak, aralarındaki ilişkiyi keşfedip sınayacak ve bunu doğrulamanın farklı yollarını karşılaştıracaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.3.2.a. Birden çok doğal sayının ortak bölenleri ve ortak katları hakkında varsayımlarda bulunur.
- MAT.10.3.2.b. Farklı örneklerden elde ettiği örüntülerle EBOB ve EKOK arasındaki ilişkiyi genellemeye çalışır; genellemeyi örneklerle sınar.
- MAT.10.3.2.c. Asal çarpanlarına ayrılmış sayılarda EBOB'u en küçük üslerle, EKOK'u en büyük üslerle bulur.
- MAT.10.3.2.ç. İki sayı için EBOB × EKOK = çarpım önermesini sunar; üç sayı için geçmediğini karşı örnekle gösterir.
- MAT.10.3.2.d. Önermelerin döşeme, periyodik olay ve parçalara ayırma gibi problemlerdeki katkısını değerlendirir.
- MAT.10.3.2.e. Önermeler için örnekle sınama ve cebirsel doğrulama yöntemlerinden uygun olanı seçip kullanır; yöntemlerin kullanışlılığını karşılaştırır.
Konu anlatımı
1. İki ışık, bir zemin
2. Listeleyerek bulmak ve bir örüntü
3. Asal çarpanlarla EBOB ve EKOK
4. EBOB × EKOK = a × b ve aralarında asallık
5. Problemlerde EBOB ve EKOK
6. Önermeleri doğrulamak: örnek mi, cebir mi?
7. Sık yapılan hatalar
Anahtar terimler
- Ortak bölen
- Birden çok sayıyı birlikte bölen sayı.
- EBOB
- En büyük ortak bölen; asal çarpanlarda her asalın en küçük üssüyle bulunur.
- Ortak kat
- Birden çok sayının birlikte böldüğü sayı.
- EKOK
- En küçük ortak kat; asal çarpanlarda her asalın en büyük üssüyle bulunur.
- Aralarında asal
- EBOB'u 1 olan sayılar; sayıların kendisinin asal olması gerekmez.
- EBOB × EKOK ilişkisi
- İki doğal sayı için EBOB ile EKOK'un çarpımı sayıların çarpımına eşittir.
- Karşı örnek
- Bir önermenin geçersiz olduğunu göstermek için yeterli tek bir örnek.
- Cebirsel doğrulama
- Önermeyi harflerle temsil edilen her sayı için kanıtlayan akıl yürütme.
- Döşeme problemi
- Eş karolarla boşluksuz döşemede karo kenarının EBOB olduğu problem türü.
- Periyodik olay
- Belirli aralıklarla yinelenen olay; birlikte yinelenme anı EKOK'un katıdır.
Örnek soru
36 ile 48 sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?
- 6
- 12
- 24
- 4
- 144
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $36 = 2^2\cdot 3^2$ ve $48 = 2^4\cdot 3$.
2. Her asalın en küçük üssü: $2^2$ ve $3^1$. EBOB $= 4\cdot 3 = 12$.
3. 144 EKOK'tur ($2^4\cdot 3^2$); 24 bir sayıdan 2'nin büyük üssünü almaktır; 6 ve 4 ise ortak bölenlerdir ama en büyüğü değildir.
Doğru cevap: B.