10. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Sayılar
Bölünebilme ve Kalanlar
Bir sayının 4'e tam bölünüp bölünmediğini bölme işlemi yapmadan anlayabilir misin? Kalan 3 ise bunu uzun bir bölme olmadan okuyabilir misin? Ondalık gösterimdeki basamak yapısı bu işi çok kolaylaştırır: 2, 3, 4, 5, 8, 9 ve 10 ile bölünebilmeyi, bu kuralların kalanı da verdiğini ve bunları EKOK ile bir araya getirmeyi bu konuda öğreneceksin. Kuralların neden doğru olduğunu basamak çözümlemesiyle kendin gösterebileceksin.
Kazanımlar
- MAT.10.3.3.a. 2, 3, 4, 5, 9 ve 10 ile bölünebilme özelliklerinden hareketle bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 8, 9 ve 10 ile bölümünden kalanlara ilişkin varsayımlarda bulunur.
- MAT.10.3.3.b. Aynı sayıyla bölmede elde edilen kalanlara ilişkin örüntüleri listeleyerek genelleme yapar.
- MAT.10.3.3.c. Genellemesini örneklerle sınar; karşı örnek bulduğunda genellemeyi düzeltir.
- MAT.10.3.3.ç. Bölünebilme kurallarını basamak çözümlemesiyle cebirsel olarak doğrular.
- MAT.10.3.3.d. Kuralların katkısını, bu sayıların EKOK'larından oluşan sayılara (6, 12, 15, 18, 20, 24, 36, 40, 45, 72, 90, 180, 360 gibi) bölünebilme ve kalan bulma bağlamında değerlendirir.
- MAT.10.3.3.e. Önermeleri doğrulamak için uygun yöntemi (örnek ya da cebirsel doğrulama) seçer ve kullanışlılığını değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Bölme yapmadan bilmek
2. Bölme algoritması ve kalan
3. Basamak çözümlemesiyle kurallar
4. EKOK'lardan oluşan sayılar: 6, 12, 18, 36…
5. Çözümlü örnekler
6. Kalan saati: 12, 24 ve döngüler
7. Varsayım kur, sına, doğrula
8. Sık yapılan hatalar
Anahtar terimler
- Bölme algoritması
- $a = b\cdot q + r$, $0 \leq r < b$ eşitliği: bölünen, bölen, bölüm ve kalan arasındaki ilişki.
- Kalan
- Bölme işleminde artan, bölenden küçük miktar.
- Tam bölünme
- Kalanın 0 olduğu bölme; bölen sayı, bölünenin bir böleni olur.
- Bölünebilme kuralı
- Bir sayının tüm basamaklarını bölmeden, belirli basamaklara bakarak bölünüp bölünmediğini söyleyen kural.
- Basamak çözümlemesi
- Sayıyı basamak değerlerinin toplamı olarak yazma: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$.
- Rakamları toplamı
- 3 ve 9 ile bölünebilmede ve bu sayılara bölümden kalanda kullanılan, rakamların toplamı.
- EKOK'lardan oluşan sayı
- 6, 12, 18, 36 gibi; aralarında asal parçalara ayrılıp parçaların kuralları birlikte uygulanan sayılar.
- Aralarında asal parçalar
- Bir sayıyı çarpan olarak yazarken ortak böleni yalnızca 1 olan çarpanlar (ör. 36 = 4·9).
- Kalan saati
- Saatin 12 ya da 24 ile bölümden kalan olarak okunduğu döngü modeli.
- Karşı örnek
- Bir genellemenin yanlışlığını göstermek için yeterli tek bir örnek.
Örnek soru
Aşağıdaki sayılardan hangisi 4 ile tam bölünür?
- 1342
- 2578
- 5832
- 3614
- 4726
Doğru cevap: C
Çözüm
1. 4 ile bölünebilme için son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'ün katı olmalıdır ($100 = 4\cdot 25$).
2. Son iki basamaklar: 42, 78, 14, 26, 32. Bunlardan yalnızca 32, 4'ün katıdır ($32 = 4\cdot 8$).
3. Diğerleri çift olsa bile 4'e bölünmez: yalnızca son rakamın çift olması 4 için yetmez.
Doğru cevap: C.