10. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Fonksiyon Kavramı ve Nitel Özellikler
Otoparktan çıkarken ödediğin ücret kaldığın süreye, kantinde ödediğin tutar aldığın ürüne bağlıdır. Bir nicelik başka bir niceliğe bağlı olarak değişiyorsa, bu bağlılığı tam olarak anlatmanın yolu fonksiyondur. Bu konuda bir bağıntının fonksiyon olup olmadığına karar verecek, tanım, değer ve görüntü kümelerini okuyacak; sıfırları, işareti, artanlığı, en büyük ve en küçük değeri, bire birliği, tekliği-çiftliği ve örtenliği hem grafikten hem cebirsel ifadeden çıkaracaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.4.1.a. Bir bağıntının gerçek sayılarda fonksiyon olup olmadığını dikey doğru testi ve cebirsel temsil üzerinden belirler.
- MAT.10.4.1.a. Tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesini grafik ve cebirsel temsilden okur; üçünü birbirinden ayırır.
- MAT.10.4.1.a. Fonksiyonun sıfırlarını, işaretini, artan-azalan aralıklarını ve en büyük ya da en küçük değerini grafik ve cebirsel temsilinden belirler.
- MAT.10.4.1.a. Bire birliği yatay doğru testiyle, tekliği-çiftliği f(−x) ile f(x) karşılaştırarak, örtenliği görüntü kümesi ile değer kümesini kıyaslayarak sınar.
- MAT.10.4.1.b. İki fonksiyonun grafik ve cebirsel temsillerini fonksiyon olma şartı ve nitel özellikler bakımından karşılaştırır.
- MAT.10.4.1.c. Karşılaştırmasından hareketle bir fonksiyon hakkında gerekçeli yargıda bulunur; fonksiyon kavramının tarihsel gelişimini özetler.
Konu anlatımı
1. Bir kural, bir eşleme
2. Fonksiyon olma şartı ve dikey doğru testi
3. Tanım, değer ve görüntü kümesi
4. Sıfırlar, işaret, artanlık ve uç değerler
5. Bire birlik ve örtenlik
6. Teklik ve çiftlik
7. Özellikleri yan yana koyup karşılaştırma
8. Çözümlü örnekler
9. Fonksiyon kavramının kısa tarihi
10. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Fonksiyon
- Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinin yalnız bir elemanıyla eşleyen kural.
- Tanım kümesi
- Fonksiyonun girdi olarak alabildiği x değerlerinin kümesi.
- Değer kümesi
- Fonksiyonun çıktılarının içinde bulunabileceği ilan edilmiş küme.
- Görüntü kümesi
- Fonksiyonun gerçekte aldığı değerlerin kümesi; değer kümesinin alt kümesidir.
- Dikey doğru testi
- y eksenine paralel her doğru grafiği en çok bir noktada kesiyorsa bağıntı fonksiyondur.
- Fonksiyonun sıfırı
- f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değeri; grafikte x eksenini kestiği noktanın apsisi.
- Bire bir fonksiyon
- Farklı girdilerin farklı çıktılar verdiği fonksiyon; yatay doğru testiyle sınanır.
- Örten fonksiyon
- Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyon.
- Çift fonksiyon
- f(−x) = f(x) olan fonksiyon; grafiği y eksenine göre simetriktir.
- Tek fonksiyon
- f(−x) = −f(x) olan fonksiyon; grafiği orijine göre simetriktir.
- Maksimum-minimum değer
- Görüntü kümesinin en büyük ve en küçük elemanı, varsa.
Örnek soru
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi gerçek sayılarda bir fonksiyon belirtmez?
- $y = 3x - 1$
- $y = x^2 + 2$
- $y = |x - 2|$
- $x = y^2$
- $y = \dfrac{1}{x^2 + 1}$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Fonksiyonda her $x$ değerine yalnız bir $y$ karşılık gelmelidir.
2. $x = y^2$ bağıntısında $x = 4$ için $y = 2$ ve $y = -2$ olmak üzere iki değer bulunur; dikey doğru testi başarısız olur.
3. Diğer dört seçenekte $y$, $x$ cinsinden tek bir ifade olarak yazılmıştır ve her $x$ için tek değer verir ($x^2 + 1$ hiçbir zaman sıfır olmadığından E de tanımlıdır).
Doğru cevap: D. En güçlü çeldirici C'dir; mutlak değer fonksiyonunun grafiği "V" şeklinde kırılsa da her $x$ için tek $y$ verir.