10. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Sayma, Algoritma ve Bilişim
Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmaları
Bir hesap makinesi $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ fonksiyonunun değerini hangi sırayla hesaplar? Bir grafik programı $y = x^2$ eğrisinden $y = 2(x-3)^2 + 1$ eğrisini nasıl çizer? Bilgisayarın karekökü hangi adımlarla yakınlaştırdığını biliyor musun? Bu konuda cebirsel ve fonksiyonel işlemleri, her adımı açıkça yazılmış bir "yapılacaklar listesi" (algoritma) olarak ifade edecek, "ise" koşulu ve "her / bazı" niceleyicileri kullanacak ve bir fonksiyonun sıfırını aralığı yarılayarak yineleme yoluyla bulacaksın. Algoritmaları doğal dille ve adım listesiyle yazacaksın; programlama dili bilmen gerekmiyor.
Kazanımlar
- MAT.10.5.2.a. Bir fonksiyonun belirli bir girdi için değerini, işlem sırasını bozmadan adım adım yazılmış bir algoritmayla hesaplar.
- MAT.10.5.2.a. Bir referans fonksiyondan kaydırma ve ölçekleme ile yeni bir fonksiyon türetme sürecini $g(x) = A \cdot f(x - h) + k$ biçiminde adım adım yazar ve uygular.
- MAT.10.5.2.a. "Ise" koşulunu kullanarak iki yollu (dallanan) bir algoritma kurar ve çıktısını izler.
- MAT.10.5.2.a. "Her" ve "bazı" niceleyicilerini içeren bir kontrolün hangi durumda durduğunu ve kaç elemanı incelediğini belirler.
- MAT.10.5.2.b. Bir fonksiyonun sıfırını, aralığın ortasını alarak yineleme (yarılama) yöntemiyle yaklaşık bulur; her adımda aralığın nasıl daraldığını tablo ve grafikle ilişkilendirir.
- MAT.10.5.2.b. Cebirsel ifade, grafik ve algoritma arasında uyum kurar; algoritmanın sonucunu elle ya da grafikten kontrol eder.
Konu anlatımı
1. Algoritma nedir?
2. Fonksiyon değerini hesaplama algoritması
3. Koşul: "ise" ve dallanan algoritmalar
4. Referans fonksiyondan yeni fonksiyon türetme
5. Yarılama: fonksiyonun sıfırını yineleyerek bulma
6. Çözümlü örnekler
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Algoritma
- Bir problemi çözen, adımları açık ve sıralı, sonlu bir yöntem; doğal dil ya da akış şemasıyla yazılabilir.
- Atama (←)
- Bir hesabın sonucunu bir değişkene yazmak; $t \leftarrow x \cdot x$ gibi.
- Referans fonksiyon
- Yeni fonksiyonların türetildiği bilinen temel fonksiyon (ör. $x^2$, $|x|$, $x^3$).
- Kaydırma ve ölçekleme
- $g(x) = A \cdot f(x-h) + k$ ile $h$ kadar sağa, $k$ kadar yukarı kaydırma ve $A$ ile dikey ölçekleme.
- Koşul (ise)
- Bir ifadenin doğru ya da yanlış olmasına göre algoritmanın hangi yoldan devam edeceğini belirleyen yapı.
- Niceleyici
- "Her" ve "bazı" gibi, bir koşulun kaç elemanda sağlandığını belirten ifade; her ilk yanlışta, bazı ilk doğruda durur.
- Yarılama
- Zıt işaretli iki uç arasındaki sıfırı, aralığın ortasını alıp koşula göre aralığı yarıya indirerek yaklaşık bulma yöntemi.
- Yineleme
- Aynı adımların her seferinde güncellenmiş değerlerle tekrar edilmesi.
Örnek soru
Bir algoritma $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ fonksiyonunun değerini şu adımlarla hesaplıyor: $t_1 \leftarrow x \cdot x$; $t_2 \leftarrow 3 \cdot t_1$; $t_3 \leftarrow -2 \cdot x$; $t_4 \leftarrow t_2 + t_3$; sonuç $\leftarrow t_4 + 5$. Bu algoritma $x = 4$ girdisi için hangi sonucu verir?
- 21
- 40
- 61
- 141
- 45
Doğru cevap: E
Çözüm
1. $t_1 = 4 \cdot 4 = 16$.
2. $t_2 = 3 \cdot 16 = 48$.
3. $t_3 = -2 \cdot 4 = -8$.
4. $t_4 = 48 + (-8) = 40$.
5. Sonuç $= 40 + 5 = 45$.
Doğru cevap: E. 40 şıkkı son adımda $+5$'i unutur. 141 şıkkı $(3 \cdot 4)^2 - 8 + 5$ ile üssü çarpımın tamamına uygular. 61 şıkkı $-2x$ terimini $+8$ alarak işaret hatası yapar.