10. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Sayma, Algoritma ve Bilişim
Seçme Sayısı, Pascal Üçgeni ve Güvercin Yuvası İlkesi
Bir sınıftan üç kişilik bir komite seçerken kimin hangi sırayla seçildiği önemli değildir; aynı üç kişi aynı komitedir. Bu durumda sıralama stratejisini düzeltip "aynı seçim kaç kez sayıldı?" diye sorarak seçme sayısına ulaşacaksın. Seçme sayılarının bir üçgen biçiminde dizildiğinde (Pascal-Hayyam üçgeni) ortaya çıkan örüntüleri keşfedecek, ayrıca "bir yerde en az şu kadar eleman vardır" diyebilmenin yolu olan güvercin yuvası ilkesini kullanarak kesinlik gerektiren sayma problemlerini çözeceksin.
Kazanımlar
- MAT.10.5.1.a. Bir seçim probleminde sıranın önemli olup olmadığını belirler; seçme ve sıralama problemlerini ayırt eder.
- MAT.10.5.1.d. n farklı nesneden r tanesinin seçim sayısını, sıralı seçimleri aynı seçimin sıra sayısına bölerek bulur ve $\binom{n}{r}$ gösterimini kullanır.
- MAT.10.5.1.e. Birden çok grup içeren seçimlerde (ör. kız ve erkek) seçme sayılarını çarpma ve toplama stratejisiyle birleştirir.
- MAT.10.5.1.ç. Seçme sayılarını üçgen biçiminde dizerek Pascal-Hayyam üçgenini oluşturur; simetri, komşu toplamı ve satır toplamı örüntülerini açıklar.
- MAT.10.5.1.d. Güvercin yuvası ilkesini kullanarak "en kalabalık yuvada en az kaç eleman vardır" ve "kaç eleman seçilirse garanti sağlanır" problemlerini çözer.
- MAT.10.5.1.f. Çözümünü başka bir yolla (listeleme, simetri, en kötü durum) kontrol eder.
Konu anlatımı
1. Sıra önemli mi, değil mi?
2. Seçme sayısı: sıralamayı düzelt
3. Pascal-Hayyam üçgeni
4. Güvercin yuvası ilkesi
5. Çözümlü örnekler
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Seçme
- Seçilen nesnelerin sırasının önemli olmadığı seçim; aynı nesneleri içeren seçimler aynı sayılır.
- Seçme sayısı (n r)
- n farklı nesneden r tanesinin sırasız seçim sayısı; $\binom{n}{r}$ ile gösterilir.
- Simetri
- $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$; r nesne seçmek, seçilmeyen n − r nesneyi belirlemekle aynıdır.
- Pascal-Hayyam üçgeni
- Seçme sayılarının satır satır dizildiği üçgen; her sayı üstündeki iki sayının toplamıdır.
- Alt küme sayısı
- n elemanlı kümenin $2^n$ alt kümesi vardır; bu da n. satırın toplamıdır.
- Güvercin yuvası ilkesi
- n nesne k yuvaya yerleşirse en kalabalık yuvada en az $\lceil n/k \rceil$ nesne bulunur.
- En kötü durum
- Garanti isteyen problemlerde şansın en aleyhine olan dağılım; bir fazlası garanti sağlar.
Örnek soru
10 kişilik bir gruptan, görev ayrımı olmayan 3 kişilik bir komite seçilecektir. Kaç farklı komite oluşturulabilir?
- 30
- 90
- 720
- 120
- 1000
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Önce sıralı seçelim: ilk kişi için 10, ikinci için 9, üçüncü için 8 seçenek: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.
2. Komitede görev ayrımı yok, yani sıra önemsiz. Aynı üç kişi $3! = 6$ farklı sırayla seçilmiş olabilir; her komite 6 kez sayıldı.
3. Düzeltme: $720 \div 6 = 120$.
Doğru cevap: D. 720 şıkkı sırayı da sayar. 90 şıkkı yalnızca iki kişinin sıralı seçimidir ($10 \cdot 9$), 30 şıkkı ise $10 \cdot 3$ ile adımları toplanır gibi çarpar.