10. Sınıf Matematik · 6. Ünite: Analitik İnceleme

İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Bölen Nokta

Haritadaki iki okul arasındaki kuş uçuşu mesafe, bir dronun rotası ya da bir yolun üstüne yerleştirilecek dinlenme tesisinin konumu aynı soruya iner: koordinatları bilinen noktalar arasında ne kadar yol var ve araya bir nokta nereye konur? Bu konuda iki nokta arasındaki uzaklığı Pisagor teoreminden çıkaracak, bir doğru parçasını verilen oranda bölen noktanın koordinatlarını benzerlikle bulacak ve bulduğun bağıntıları gerçek yaşam problemlerinde kullanacaksın.

Kazanımlar

• MAT.10.6.1.a. Dik koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları için varsayımda bulunur (ör. uzaklığın eksen farklarından nasıl bulunacağını tahmin eder).
• MAT.10.6.1.b. Farklı nokta çiftleri üzerinden örüntüleri genelleyerek $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ bağıntısına ulaşır.
• MAT.10.6.1.c. Orta nokta ve içten/dıştan bölen nokta koordinatlarına ilişkin genellemelerini ve varsayımlarını karşılaştırır, çelişen durumları sınar.
• MAT.10.6.1.ç. Uzaklık ve bölen nokta için $m : n$ oranına bağlı önermeler sunar (ör. içten bölen nokta her zaman $[AB]$ üzerindedir).
• MAT.10.6.1.d. Bu önermeleri harita, rota ve yerleşim gibi gerçek yaşam problemleri bağlamında değerlendirir.

Konu anlatımı

1. 1. Haritada uzaklık nasıl ölçülür?

2. 2. Eksenlere paralel doğru parçaları

3. 3. İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısı

4. 4. Orta nokta

5. 5. Bir doğru parçasını belli oranda bölen nokta

6. 6. Çözümlü örnekler

7. 7. Simülasyonda keşfet ve gerçek yaşamda kullan

8. 8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

Anahtar terimler

Dik koordinat sistemi

Birbirine dik iki sayı doğrusundan (x ve y eksenleri) oluşan, düzlemdeki her noktaya $(x,\,y)$ sıralı ikilisi karşılık getiren sistem.

Apsis ve ordinat

Bir noktanın sırasıyla x ve y koordinatı.

İki nokta arasındaki uzaklık

$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$; koordinat farklarıyla kurulan dik üçgenin hipotenüsü.

Orta nokta

Doğru parçasını $1 : 1$ oranında bölen nokta; koordinatları uç koordinatlarının ortalamasıdır.

İçten bölen nokta

$[AB]$ üzerinde bulunup $|AP| : |PB| = m : n$ koşulunu sağlayan nokta.

Dıştan bölen nokta

$[AB]$'nin uzantısı üzerinde bulunup $|AP| : |PB| = m : n$ ($m \neq n$) koşulunu sağlayan nokta.

Eşit uzaklık

Bir noktanın iki noktaya uzaklıklarının eşit olması; uzaklıkların kareleri eşitlenerek çözülür.

Örnek soru

Dik koordinat sisteminde $A(-2,\,1)$ ve $B(4,\,9)$ noktaları veriliyor. $|AB|$ uzaklığı kaç birimdir?

1. $8$
2. $10$
3. $14$
4. $100$
5. $\sqrt{14}$

Doğru cevap: B

Çözüm

1. Yatay fark: $\Delta x = 4 - (-2) = 6$, dikey fark: $\Delta y = 9 - 1 = 8$.
2. $|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.
Doğru cevap: B. $14$, farkların toplamıdır (yalnızca eksen yönünde gidilen yol); $100$ karekök alınmadan bırakılan sonuçtur; $\sqrt{14}$ ise farklar karesiz toplanırsa çıkar.

10. Sınıf Matematik: tüm konular