10. Sınıf Matematik · 6. Ünite: Analitik İnceleme
Doğrunun Eğimi, Eğim Açısı ve Denklemi
Bir rampanın dikliği, bir yamacın eğimi ya da bir grafiğin yükselme hızı hep aynı fikre dayanır: yatayda ilerlerken düşeyde ne kadar değişiyoruz? Bu konuda doğrunun eğim açısını ve eğimini tanıyacak, eğimin eğim açısının tanjantı olduğunu görecek, iki noktası ya da bir noktası ve eğimi verilen doğrunun denklemini yazacak ve eksenlere paralel doğruların denklemlerini bulacaksın. Dik koordinat sistemini bu işlerde güvenilir bir temsil aracı olarak kullanmayı öğreneceksin.
Kazanımlar
- MAT.10.6.2.a. Dik koordinat sistemini doğrunun eğim açısını ve eğimini belirlemede araç olarak tanır: eğim açısını x ekseninin pozitif yönünden doğruya ölçer, eğimi $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \tan\alpha$ ile ilişkilendirir.
- MAT.10.6.2.a. Eğimin işaretini ($m>0$, $m<0$, $m=0$, tanımsız) doğrunun yönüyle ve eğim açısının dar, geniş, $0^\circ$ ya da $90^\circ$ olmasıyla ilişkilendirir.
- MAT.10.6.2.b. Karşılaştığı problemlerde iki noktası veya bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini yazmak için koordinat sistemini uygun temsil aracı olarak seçer.
- MAT.10.6.2.c. Doğruyu grafik, tablo ve denklemle birlikte temsil eder; $y = mx + n$ ile eksenleri kestiği noktaları bulur.
- MAT.10.6.2.c. Eksenlere paralel doğruların denklemlerini ($y = k$ ve $x = k$) yazar ve eğim açılarını $0^\circ$ ile $90^\circ$ olarak yorumlar.
Konu anlatımı
1. Eğim: yatayda bir adım, düşeyde kaç adım?
2. Eğim açısı ve eğimin tanjantla ilişkisi
3. Doğrunun denklemi: eğim-kesim biçimi
4. Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi
5. İki noktası bilinen doğrunun denklemi
6. Çözümlü örnekler
7. Simülasyonda keşfet
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Eğim açısı
- Bir doğrunun x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı, saat yönünün tersine ölçülen açı; $0^\circ \le \alpha < 180^\circ$.
- Eğim
- Doğru üzerindeki iki noktanın düşey farkının yatay farkına oranı: $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \tan\alpha$.
- Artan ve azalan doğru
- Eğimi pozitif olan doğru soldan sağa yükselir (dar açı); eğimi negatif olan alçalır (geniş açı).
- Eğim-kesim biçimi
- $y = mx + n$; $m$ eğim, $n$ doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı.
- Nokta-eğim biçimi
- $y - y_1 = m(x - x_1)$; $(x_1,\,y_1)$ noktasından geçen, eğimi $m$ olan doğru.
- Doğrusal noktalar
- Aynı doğru üzerinde bulunan noktalar; ardışık nokta çiftlerinin eğimleri eşittir.
- Eksenlere paralel doğrular
- Yatay doğru $y = k$ ($\alpha = 0^\circ$, $m = 0$); dikey doğru $x = k$ ($\alpha = 90^\circ$, eğim tanımsız).
Örnek soru
Dik koordinat sisteminde $A(1,\,-2)$ ve $B(4,\,7)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
- $-3$
- $\dfrac{1}{3}$
- $3$
- $9$
- $-\dfrac{1}{3}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $\Delta y = 7 - (-2) = 9$ ve $\Delta x = 4 - 1 = 3$.
2. $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{9}{3} = 3$.
Doğru cevap: C. $\dfrac{1}{3}$ oranın ters alınmasıyla ($\Delta x/\Delta y$), $-3$ ise işaret hatasıyla, $9$ ise yalnızca $\Delta y$ alınmasıyla bulunur.