10. Sınıf Matematik · 6. Ünite: Analitik İnceleme
İki Doğrunun Birbirine Göre Konumu
İki yol kavşakta mı buluşuyor, yoksa hiç kesişmeden yan yana mı gidiyor? İki robotun rotası çarpışma noktasında kesişir mi? Bu sorular iki doğrunun düzlemdeki konumunu sorar. Bu konuda denklemleri verilen iki doğrunun kesişen, paralel ya da çakışık olduğunu eğimlerine ve ortak noktalarına bakarak belirleyecek, kesişim noktasını denklem sistemiyle bulacak, dik doğruların eğimleri çarpımının $-1$ olduğunu keşfedecek ve dik koordinat sistemini problem çözmede temsil aracı olarak kullanacaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.6.2.a. Dik koordinat sistemini iki doğrunun birbirine göre konumunu (kesişen, paralel, çakışık, dik) belirlemede araç olarak tanır.
- MAT.10.6.2.b. Denklemleri verilen iki doğrunun eğimlerini ve ortak noktalarını karşılaştırarak paralellik, kesişme ve çakışma durumlarını belirler.
- MAT.10.6.2.b. Kesişen iki doğrunun kesişim noktasını grafikle ve iki denklemden oluşan sistemin çözümüyle bulur.
- MAT.10.6.2.c. Eksenlere paralel olmayan dik doğruların eğimleri çarpımının $-1$ olduğunu örüntüden genelleyerek ifade eder; eksenlere paralel dik doğru çiftini ayrı durum olarak yorumlar.
- MAT.10.6.2.c. Verilen bir noktadan geçen paralel ve dik doğrunun denklemini yazar; dik koordinat sistemini orta dikme ve üçgen problemlerinde temsil aracı olarak kullanır.
Konu anlatımı
1. Yollar kesişir mi?
2. Eğimlerle konum: paralel, kesişen, çakışık
3. Kesişim noktası ve denklem sistemi
4. Dik doğrular: eğimler çarpımı −1
5. Paralel ve dik doğru denklemi yazma
6. Çözümlü örnekler
7. Simülasyonda keşfet ve gerçek yaşamda kullan
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Kesişen doğrular
- Tam olarak bir ortak noktası olan doğrular; eğimleri farklıdır.
- Paralel doğrular
- Hiç ortak noktası olmayan doğrular; eğimleri eşit, kesimleri farklıdır.
- Çakışık doğrular
- Bütün noktaları ortak olan, yani aynı doğru olan doğrular; denklemleri birbirinin katıdır.
- Dik doğrular
- $90^\circ$ açıyla kesişen doğrular; eksenlere paralel değillerse $m_1 \cdot m_2 = -1$.
- Kesişim noktası
- İki doğrunun ortak noktası; iki denklemden oluşan sistemin çözümüdür.
- Denklem sistemi
- İki doğrunun denklemlerinin birlikte yazılmasıyla oluşan sistem; tek, sıfır ya da sonsuz çözümü olabilir.
- Orta dikme
- Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve ona dik olan doğru; üzerindeki noktalar uç noktalara eşit uzaklıktadır.
Örnek soru
$d_1: y = 3x - 2$ ve $d_2: 6x - 2y + 5 = 0$ doğruları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- Çakışıktırlar.
- Dik kesişirler.
- Tek noktada kesişirler.
- Paraleldirler (ortak noktaları yoktur).
- İkisi de eksenlere paraleldir.
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $d_2$'yi düzenle: $-2y = -6x - 5$, $y = 3x + \dfrac{5}{2}$.
2. $m_1 = m_2 = 3$ ve $n_1 = -2 \neq \dfrac{5}{2} = n_2$.
3. Eğimler eşit, kesimler farklı: doğrular paraleldir.
Doğru cevap: D. Eğimler eşit olduğu için kesişmezler; $n$ değerleri de eşit olsaydı çakışık olurlardı. Eğimlerin çarpımı $9 \neq -1$ olduğundan dik de değildirler.