10. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Karesel Fonksiyon ve Parabol
Bir fıskiyeden fışkıran su, havaya atılan top ve çanak antenin kesiti aynı eğriyi çizer: parabolü. Bu eğrinin tümü tek bir referans fonksiyondan, f(x) = x²'den, kaydırma, yansıtma ve genişletme ile elde edilir. Bu konuda x² fonksiyonunun nitel özelliklerini bulacak, g(x) = a(x − r)² + k fonksiyonunun grafiğini ve özelliklerini tepe noktası, simetri doğrusu ve görüntü kümesi üzerinden okuyacak; ax² + bx + c biçimindeki bir fonksiyonu tamkareye tamamlayarak en büyük ya da en küçük değerini x = −b/2a noktasında bulacaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.4.2.a. f(x) = x² referans fonksiyonunun nitel özelliklerini (tanım ve görüntü kümesi, işaret, artanlık-azalanlık, minimum, sıfır, bire birlik, çiftlik, örtenlik) belirler.
- MAT.10.4.2.c. g(x) = a·f(x ± r) ± k dönüşümünü aşamalı uygular: önce yalnız k, sonra yalnız r, sonra yalnız a, en sonda üçünü birlikte yorumlar.
- MAT.10.4.2.ç. Cebirsel ifadedeki a, r, k değerleri ile grafikteki kaydırma, yansıma ve açıklık arasındaki ilişkiyi ifade eder.
- MAT.10.4.2.d. Tepe noktası, simetri doğrusu, görüntü kümesi, artan-azalan aralıklar ve sıfırları dönüşmüş fonksiyon için varsayım yapıp kontrol eder.
- MAT.10.4.2.e. ax² + bx + c ifadesini tamkareye tamamlayarak tepe noktasının x = −b/2a, en büyük ya da en küçük değerin f(−b/2a) olduğunu genellemeye ulaşır.
- MAT.10.4.2.h. Önermelerini grafikle doğrular ya da cebirsel olarak ispatlar; yöntemlerin kullanışlılığını gerçek yaşam bağlamında değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Parabolü her yerde görmek
2. Referans fonksiyon f(x) = x²
3. Dönüşümler: önce k, sonra r, sonra a
4. Grafik ve cebir arasında çeviri
5. Standart biçim: ax² + bx + c
6. Çözümlü örnekler
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Karesel fonksiyon
- f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) biçiminde yazılabilen fonksiyon; grafiği paraboldür.
- Parabol
- Karesel fonksiyonun grafiği; bir simetri doğrusu ve bir tepe noktası vardır.
- Tepe noktası
- Parabolün en alçak (a > 0) ya da en yüksek (a < 0) noktası; g(x) = a(x − r)² + k için T(r, k).
- Simetri doğrusu
- Parabolü iki eş parçaya ayıran düşey doğru; x = r ya da x = −b/2a.
- Referans fonksiyon
- Dönüşümlerin başlangıç noktası olan f(x) = x² fonksiyonu.
- Dönüşüm
- g(x) = a·f(x − r) + k ile grafiği kaydırma, yansıtma ve genişletme-daraltma işlemi.
- Görüntü kümesi
- Parabolün alabildiği y değerleri: a > 0 için [k, ∞), a < 0 için (−∞, k].
- Tamkareye tamamlama
- ax² + bx + c ifadesini a(x − r)² + k biçimine çevirme yöntemi.
- En küçük-en büyük değer
- Parabolün tepe noktasındaki y değeri; x = −b/2a için f(−b/2a).
Örnek soru
$g(x) = (x + 3)^2 - 5$ fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir?
- $(3, -5)$
- $(-3, -5)$
- $(-5, 3)$
- $(-3, 5)$
- $(3, 5)$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $g(x) = a(x - r)^2 + k$ biçiminde tepe noktası $T(r, k)$'dir.
2. $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ olduğundan $r = -3$; sabit terim $k = -5$.
3. Tepe noktası $(-3, -5)$.
Doğru cevap: B. A seçeneği parantezdeki işareti ters okur ($x + 3 = 0$ iken $x = -3$ olur, $+3$ değil); C seçeneği ise $x$ ve $y$ bileşenlerini yer değiştirir.