10. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler

İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

Bir havai fişek yükseldikçe yüksekliği zamanla bir parabol çizer. "Fişek tam 15 m yüksekte ne zaman?" sorusu bir denklemdir; "Fişek ne zaman 15 m'nin üstündedir?" sorusu ise bir eşitsizliktir. Bu konuda f(x) = 0, f(x) = g(x), f(x) < g(x) ve f(x) ≤ g(x) türündeki en fazla ikinci dereceden denklem ve eşitsizlikleri grafik ve cebirsel temsiller arasında geçiş yaparak çözeceksin: tamkareye tamamlama, deneme-yanılma, grafik ve birinci dereceden çarpanların işaret tablosu bu işin dört aracıdır.

Kazanımlar

• MAT.10.4.6.a. f(x) = g(x) denkleminin çözümlerini iki grafiğin kesişim noktalarının apsisleri olarak yorumlar; çözüm sayısını (0, 1, 2) grafikten belirler.
• MAT.10.4.6.b. Denklemi f(x) − g(x) = 0 biçimine getirir, a(x − h)² + K = 0 biçimine tamamlayarak (x − h)² = q eşitliğini kurar.
• MAT.10.4.6.c. q sayısının işaretine bakarak çözüm sayısını (iki, bir ya da hiç) belirler ve çözümleri x = h ± √q olarak yazar.
• MAT.10.4.6.d. Tamkareyi iki kare farkı gibi çarpanlara ayırarak (x − x₁)(x − x₂) biçimindeki birinci dereceden çarpanları elde eder.
• MAT.10.4.6.e. İşaret tablosu ve grafik yardımıyla f(x) ⋚ 0 ve f(x) ⋚ g(x) eşitsizliklerinin çözüm kümesini aralık gösterimiyle yazar.
• MAT.10.4.6.f. Bulduğu çözümü yerine koyma ve grafik gibi farklı bir yöntemle doğrular; problem bağlamında anlamını yorumlar.

Konu anlatımı

1. 1. Havai fişek ne zaman 15 m'nin üstünde?

2. 2. Denklem, iki grafiğin kesişimidir

3. 3. Tamkareye tamamlama ile çözüm

4. 4. Deneme-yanılma ve doğrulama

5. 5. Çarpanlara ayırma: iki kare farkı

6. 6. Eşitsizlikler: grafik ve işaret tablosu

7. 7. f(x) < g(x): parabol ile doğru

8. 8. Çözümlü örnekler ve problem

9. 9. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

Anahtar terimler

Denklemin çözümü

Denklemi sağlayan x değeri; f(x) = g(x) için iki grafiğin kesişim noktasının apsisi.

Sıfır (kök)

f(x) = 0 denklemini sağlayan x değeri; grafikte x eksenini kestiği noktanın apsisi.

Tamkareye tamamlama

ax² + bx + c ifadesini a(x − h)² + K biçimine getirme yöntemi.

Çift kök

(x − h)² = 0 biçiminde yalnız bir çözümü veren durum; grafikler yalnız tepede değer.

İki kare farkı

A² − B² = (A − B)(A + B) özdeşliği; tamkareden birinci dereceden çarpanlara geçmeyi sağlar.

İşaret tablosu

Çarpanların kökler arasındaki işaretlerini satır satır yazıp çarpımın işaretini bulma yöntemi.

Çözüm kümesi

Denklemi ya da eşitsizliği sağlayan tüm x değerlerinin kümesi; aralık gösterimiyle yazılır.

Eşitsizliğin yönü

Negatif bir sayıyla çarpıldığında ya da bölündüğünde yön değiştirir.

Örnek soru

$x^2 - 8x + 12 = 0$ denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

1. $\{-6, -2\}$
2. $\{3, 4\}$
3. $\{2, 6\}$
4. $\{4, 12\}$
5. $\{-2, 6\}$

Doğru cevap: C

Çözüm

1. Tamkareye tamamla: $x^2 - 8x + 16 - 16 + 12 = (x - 4)^2 - 4 = 0$.
2. $(x - 4)^2 = 4 \Rightarrow x - 4 = \pm 2$.
3. $x = 6$ ya da $x = 2$. Kontrol: $36 - 48 + 12 = 0$ ✓, $4 - 16 + 12 = 0$ ✓.
Doğru cevap: C. A seçeneği işaretleri ters alır (denklemi sağlamaz); B seçeneği $3 \cdot 4 = 12$ çarpımına bakıp toplamı kontrol etmeyi unutur: $9 - 24 + 12 \neq 0$.

10. Sınıf Matematik: tüm konular