10. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Ters Fonksiyon
Bir fonksiyon "girdiyi çıktıya" götürür; ters fonksiyon aynı yolu geri yürür: çıktıdan girdiye döner. Sıcaklığı Celsius'tan Fahrenheit'a çeviren kuralı biliyorsan tersiyle Fahrenheit'tan Celsius'a geçebilirsin. Bu konuda x ile y'nin yer değiştirmesiyle ortaya çıkan ters ilişkiyi tabloda ve grafikte inceleyecek, ters ilişkinin ne zaman fonksiyon olduğunu (bire bir ve örten koşulu) bulacak, karesel fonksiyonda tanım kümesini düzenleyerek tersini elde edecek ve f ile f⁻¹ grafikleri arasındaki simetriyi doğrulayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.4.5.a. Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlarda bağımlı ve bağımsız değişkenin yer değiştirmesiyle elde edilen ters ilişkiyi tabloyla gösterir ve bu ilişkinin fonksiyon olup olmadığına dair varsayımda bulunur.
- MAT.10.4.5.b. Ters ilişkinin fonksiyon olması için f'nin bire bir ve örten olması gerektiğini örüntülerden genelleyerek ifade eder.
- MAT.10.4.5.c. Karesel fonksiyonun tanım kümesini bire bir olacak biçimde düzenleyerek ters fonksiyonu cebirsel olarak yazar.
- MAT.10.4.5.ç. Doğrusal, karekök ve rasyonel fonksiyonların ters fonksiyonunu bulur; tanım ve değer kümelerinin yer değiştirdiğini belirtir.
- MAT.10.4.5.d. f ile f⁻¹ grafiklerinin y = x doğrusuna göre simetrik olduğunu doğrular ve ters fonksiyonun artanlık-azalanlık gibi nitel özelliklerini f ile ilişkilendirir.
Konu anlatımı
1. Geri yürümek: çıktıdan girdiye
2. Ters ilişki ne zaman fonksiyondur?
3. Ters fonksiyonu bulma: x ile y yer değiştirir
4. Karesel fonksiyonda tanım kümesini düzenleme
5. f ve f⁻¹ grafikleri: y = x doğrusuna göre simetri
6. Çözümlü örnekler
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
8. Özet ve bağlantılar
Anahtar terimler
- Ters ilişki
- Bir ilişkideki her (a, b) ikilisinin (b, a) ile değiştirilmesiyle elde edilen ilişki; tabloda girdi ile çıktı sütununun yer değiştirmesi.
- Ters fonksiyon
- f bire bir ve örten olduğunda ters ilişkinin oluşturduğu fonksiyon; f(a) = b ise f⁻¹(b) = a. f⁻¹: B → A.
- Bire bir fonksiyon
- Farklı girdilerin farklı çıktılara gittiği fonksiyon; grafiği her yatay doğruyla en fazla bir noktada kesişir.
- Örten fonksiyon
- Değer kümesi hedef kümeye eşit olan fonksiyon; hedef kümede boşta kalan eleman yoktur.
- y = x doğrusuna göre simetri
- f ve f⁻¹ grafikleri birbirinin y = x doğrusuna göre yansımasıdır; (a, b) noktası (b, a) noktasına gider.
- Tanım kümesini daraltma
- Bire bir olmayan karesel fonksiyonu, simetri ekseninin bir yanıyla sınırlayarak ters fonksiyonu olan bir fonksiyona dönüştürme işlemi.
- Değer kümesi
- Fonksiyonun aldığı bütün çıktıların kümesi; f⁻¹'in tanım kümesidir.
- Simetri ekseni
- Karesel fonksiyon a(x + p)² + q için x = −p doğrusu; tanım kümesi bu doğrunun bir yanıyla sınırlanır.
Örnek soru
$f(x) = 3x - 5$ fonksiyonunun ters fonksiyonu $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
- $\dfrac{x-5}{3}$
- $3x + 5$
- $\dfrac{x+5}{3}$
- $\dfrac{1}{3x-5}$
- $\dfrac{5-x}{3}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $y = 3x - 5$ yazılır ve $x$ ile $y$ yer değiştirir: $x = 3y - 5$.
2. $y$ yalnız bırakılır: $3y = x + 5$, yani $y = \dfrac{x+5}{3}$.
3. Kontrol: $f(2) = 1$ ve $f^{-1}(1) = \dfrac{6}{3} = 2$. ✓
Doğru cevap: C. A şıkkı $5$'i yanlış işaretle taşır; D şıkkı tersi "çarpmaya göre ters" ile karıştırır.