10. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Karesel Optimizasyon ve Ters Orantı Problemleri
Bir çiftçi elindeki telle en geniş bahçeyi çevirmek, bir dükkân sahibi en çok kazandıran satış fiyatını bulmak, bir mühendis fırlatılan bir cismin en yüksek noktasını hesaplamak ister. Hepsi aynı soruyu sorar: "En iyisi hangisi?" Bu konuda üretim ve tüketim gibi gerçek bağlamları karesel fonksiyonla modelleyecek, en büyük ya da en küçük değeri x = −b/2a noktasında f(−b/2a) olarak bulacaksın. Ayrıca kâr ve maliyet gibi ters orantılı nicelikleri rasyonel fonksiyonla modelleyip modellerin sınırlarını ve verimliliğini değerlendireceksin; ikinci dereceden denklemlerin tarihine de kısa bir yolculuk yapacaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.4.6.a. Alan, kâr ve yükseklik gibi bağlamlardaki niceliklerin değişimini karesel fonksiyon olarak ifade eder; fonksiyonun parametrelerini bağlamdaki niceliklerle eşleştirir.
- MAT.10.4.6.c. Bağlamı sözel, cebirsel (standart ve tepe biçimi) ve grafik temsil arasında dönüştürür; temsillerin bağlamdaki anlamını açıklar.
- MAT.10.4.6.d. Karesel modelde en büyük ya da en küçük değerin x = −b/2a noktasında f(−b/2a) olduğu genellemesini kullanarak en iyi duruma ulaşır.
- MAT.10.4.6.e. Ters orantılı nicelikleri x · y = k ve u(n) = G/n + v gibi rasyonel fonksiyonlarla modelleyip yatay asimptotun (alt sınırın) bağlamdaki anlamını yorumlar.
- MAT.10.4.6.f. Bulduğu çözümü farklı bir yöntemle (tamkare, grafik, sayısal deneme) doğrular; modelin geçerli olduğu aralığı belirler.
- MAT.10.4.6.ğ. İkinci dereceden denklemlerin tarihsel gelişimini (Brahmagupta, Harizmi, Abdülhamid bin Türk) özetler ve modellerin sınırlılık ve verimlilik açısından değerlendirmesini yapar.
Konu anlatımı
1. En iyisini bulmak
2. Karesel modelde en büyük ve en küçük değer
3. Alan problemleri
4. Kâr problemleri
5. Yükseklik problemleri
6. Ters orantı ve rasyonel model
7. Modelleri değerlendirmek: sınırlılık ve verimlilik
8. İkinci dereceden denklemlerin tarihi
9. Çözümlü örnekler
10. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- En iyileme (optimizasyon)
- Bir niceliğin en büyük ya da en küçük değerini bulma problemi.
- Tepe noktası
- Parabolün en yüksek ya da en alçak noktası; x = −b/2a apsisinde bulunur.
- En büyük-en küçük değer
- Karesel fonksiyonun tepe noktasındaki değeri f(−b/2a); a < 0 için en büyük, a > 0 için en küçüktür.
- Geçerlilik aralığı
- Modelin bağlam açısından anlamlı olduğu değişken aralığı; çözüm bu aralıkta aranır.
- Kâr
- Gelir ile maliyet arasındaki fark; K(p) = (p − c)·D(p).
- Talep
- Belirli bir fiyatta satılan ürün adedi; fiyat arttıkça genellikle azalır.
- Ters orantı
- Çarpımı sabit olan iki nicelik: x · y = k.
- Birim maliyet
- Toplam maliyetin üretilen adede bölümü: u(n) = G/n + v.
- Yatay asimptot
- Grafiğin yaklaştığı ama ulaşamadığı sınır; birim maliyet modelinde değişken maliyettir.
- Tamkareye tamamlama
- Harizmi'nin geometrik yönteminin cebirsel karşılığı: x² + bx ifadesini bir karenin alanına tamamlama.
Örnek soru
$f(x) = -x^2 + 8x + 3$ fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
- $3$
- $4$
- $16$
- $22$
- $19$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. $a = -1 < 0$ olduğundan fonksiyon tepe noktasında en büyük değerini alır.
2. $x_T = -\dfrac{8}{2 \cdot (-1)} = 4$.
3. $f(4) = -16 + 32 + 3 = 19$. Tamkareyle: $-(x - 4)^2 + 19$.
Doğru cevap: E. B seçeneği en büyük değerin alındığı $x$ noktasıdır; C seçeneği ise sabit terim $+3$'ü eklemeyi unutmaktır ($-16 + 32$).