10. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Karekök Fonksiyonu
Bir cismi yüksekten bıraktığında yere düşme süresi, yüksekliğin karekökü ile orantılı olarak artar: yükseklik dört katına çıkınca süre yalnız iki katına çıkar. Böyle "yavaşlayarak artan" olayların matematiksel modeli karekök fonksiyonudur. Bu konuda f(x) = √x referans fonksiyonunun nitel özelliklerini belirleyecek, g(x) = a√(x − r) + k dönüşümlerinde başlangıç noktasının, tanım ve görüntü kümesinin nasıl değiştiğini keşfedecek ve karekök fonksiyonunun neden tek ya da çift sayılamayacağını açıklayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.4.3.a. f(x) = √x referans fonksiyonunun tanım ve görüntü kümesini, işaretini, artanlığını, minimumunu, sıfırını, bire birliğini ve örtenliğini belirler.
- MAT.10.4.3.a. Karekök fonksiyonu için tek-çift sorusunun neden sorulamayacağını tanım kümesine dayanarak açıklar.
- MAT.10.4.3.c. g(x) = a√(x − r) + k dönüşümünü aşamalı uygulayarak grafiği çizer; a, r, k ile başlangıç noktası ve kolun yönü arasındaki ilişkiyi ifade eder.
- MAT.10.4.3.d. Dönüşmüş karekök fonksiyonunun tanım kümesi, görüntü kümesi, sıfırı, işareti ve artanlığı hakkında varsayım yapar ve kontrol eder.
- MAT.10.4.3.e. Parametre değerlerine bağlı örüntüleri genelleyerek önermeleri sözel ve cebirsel dille ifade eder; grafikle doğrular.
- MAT.10.4.3.ğ. Karekök fonksiyonuyla modellenen gerçek yaşam bağlamlarında modelin kullanışlılığını değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Yavaşlayarak artan nicelikler
2. Referans fonksiyon f(x) = √x
3. Dönüşümler: g(x) = a√(x − r) + k
4. Neden tek ya da çift denmez?
5. Çözümlü örnekler
6. Genelleme, doğrulama ve model
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Karekök fonksiyonu
- f(x) = √x, x ≥ 0; tanım ve görüntü kümesi [0, ∞) olan, artan ve bire bir fonksiyon.
- Başlangıç noktası
- g(x) = a√(x − r) + k grafiğinin başladığı (r, k) noktası; fonksiyonun uç değeri de buradadır.
- Tanım kümesi
- Karekökün içini negatif yapmayan x değerleri: g(x) = a√(x − r) + k için [r, ∞).
- Görüntü kümesi
- a > 0 için [k, ∞); a < 0 için (−∞, k].
- Pozitif karekök
- √ simgesi negatif olmayan kökü gösterir: √9 = 3.
- Simetrik tanım kümesi
- x ile birlikte −x de içinde olan küme; tek ya da çift sorusu için gereklidir.
- Yabancı çözüm
- Karekök denkleminde kare alınca ortaya çıkıp denklemi sağlamayan değer; yerine koyarak elenir.
- Dönüşüm
- g(x) = a·f(x − r) + k ile referans grafiği kaydırma, yansıtma ve germe işlemi.
Örnek soru
$f(x) = \sqrt{x + 4}$ fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- $(-4, \infty)$
- $[4, \infty)$
- $(-\infty, -4]$
- $\mathbb{R}$
- $[-4, \infty)$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. Karekökün içi negatif olamaz: $x + 4 \geq 0$.
2. Buradan $x \geq -4$. $x = -4$ için $\sqrt{0} = 0$ tanımlıdır; bu nokta kümeye dahildir.
3. Tanım kümesi $[-4, \infty)$. Eğri $\sqrt{x}$'in $4$ birim sola kaymış hâlidir, başlangıç noktası $(-4, 0)$.
Doğru cevap: E. A seçeneği $x = -4$'ü dışarıda bırakır; B seçeneği kaymanın yönünü ters alır.