10. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler
Rasyonel Fonksiyon: f(x) = 1/x
Bir işi daha çok işçi yapınca daha çabuk biter; ama işçi sayısını iki katına çıkarmak süreyi sıfıra indirmez, yalnız yarıya indirir. Bir yolu daha hızlı gitmek süreyi kısaltır, ama hiçbir hız sıfır süre vermez. Ters orantılı nicelikleri anlatan bu davranış, f(x) = 1/x fonksiyonuyla ve ondan türetilen g(x) = a/(x − r) + k fonksiyonlarıyla modellenir. Bu konuda 1/x'in nitel özelliklerini, grafiğin eksenlere yaklaşma davranışını (asimptotları) ve dönüşümlerin bu davranışı nasıl taşıdığını keşfedecek, ters orantılı bağlamları fonksiyon diliyle yorumlayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.4.4.a. f(x) = 1/x referans fonksiyonunun tanım ve görüntü kümesini, işaretini, artanlık-azalanlığını, bire birliğini ve tekliğini belirler.
- MAT.10.4.4.a. Grafiğin eksenlere yaklaşma davranışını (düşey ve yatay asimptot) x'in sıfıra ve çok büyük değerlere yaklaşması üzerinden açıklar.
- MAT.10.4.4.c. g(x) = a/(x − r) + k dönüşümünü aşamalı uygulayarak grafiği çizer; a, r, k'nin asimptotlara ve kolların yönüne etkisini ifade eder.
- MAT.10.4.4.d. Dönüşmüş rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, görüntü kümesi, sıfırı, işareti ve artanlık-azalanlığı hakkında varsayım yapar ve kontrol eder.
- MAT.10.4.4.e. Ters orantılı iki niceliğin çarpımının sabit olduğunu genelleyerek y = a/x bağıntısını yazar; x iki katına çıkınca y'nin yarıya indiğini doğrular.
- MAT.10.4.4.ğ. Rasyonel fonksiyonla modellenen gerçek yaşam bağlamlarında modelin sınırını (asimptot) yorumlar.
Konu anlatımı
1. Daha çok işçi, daha az gün
2. Referans fonksiyon f(x) = 1/x
3. Eksenlere yaklaşma: asimptot
4. Dönüşümler: g(x) = a/(x − r) + k
5. Çözümlü örnekler
6. Genelleme ve doğrulama
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Rasyonel fonksiyon
- Payı ve paydası çok terimli ifade olan fonksiyon; bu konuda f(x) = 1/x ve g(x) = a/(x − r) + k.
- Düşey asimptot
- Grafiğin yaklaştığı ama kesmediği düşey doğru; g(x) = a/(x − r) + k için x = r.
- Yatay asimptot
- |x| çok büyürken grafiğin yaklaştığı yatay doğru; g(x) = a/(x − r) + k için y = k.
- Ters orantı
- Çarpımı sabit olan iki nicelik: x · y = a, yani y = a/x.
- Hiperbol
- f(x) = 1/x grafiği gibi iki ayrı koldan oluşan eğri.
- Tek fonksiyon
- f(−x) = −f(x) olan fonksiyon; 1/x tek fonksiyondur, grafiği orijine göre simetriktir.
- Tanımsızlık
- Paydayı sıfır yapan x değerinde fonksiyonun değerinin bulunmaması; tanım kümesi bu değeri içermez.
- Simetri merkezi
- g(x) = a/(x − r) + k grafiğinin (r, k) noktası; asimptotların kesiştiği nokta.
Örnek soru
$g(x) = \dfrac{1}{x - 3} + 2$ fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- $\mathbb{R}\setminus\{3\}$
- $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$
- $\mathbb{R}\setminus\{2\}$
- $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
- $\mathbb{R}$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Payda sıfır olamaz: $x - 3 \neq 0$.
2. Buradan $x \neq 3$; tanım kümesi $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ olur. Düşey asimptot $x = 3$'tür.
3. $+2$ terimi yalnız grafiği yukarı kaydırır, tanım kümesini değiştirmez.
Doğru cevap: A. C seçeneği görüntü kümesine ait bir değerdir ($y = 2$ yatay asimptottur, $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ görüntü kümesidir); B seçeneği işareti ters okur.