10. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Geometrik Şekiller
Kenarortay, Kenar Orta Dikme ve Yükseklik
Karton bir üçgeni tek parmağınla dengede tutmak istersen parmağını nereye koymalısın? Üç köy arasında, üçüne de eşit uzaklıkta bir su kuyusu açmak istersen nerede kazmalısın? Bu soruların cevabı üçgenin yardımcı elemanlarında saklı: kenarortaylar, kenar orta dikmeler ve yükseklikler. Bu konuda köşeleri sürükleyip gözlem yaparak her elemanın üç doğrusunun neden tek noktada kesiştiğini, bu noktanın üçgenin türüne göre nereye düştüğünü ve dik üçgende ortaya çıkan özel durumları genelleyeceksin.
Kazanımlar
- MAT.10.1.2.a. Kenarortayların, kenar orta dikmelerin ve yüksekliklerin kesişim noktalarının konumuna ilişkin varsayımda bulunur.
- MAT.10.1.2.b. Dar, dik ve geniş açılı üçgen örneklerini inceleyerek G, O ve H noktalarının konumuna ilişkin örüntüleri genellemeye çevirir.
- MAT.10.1.2.c. Ağırlık merkezinin kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böldüğünü kullanarak uzunluk hesaplar.
- MAT.10.1.2.ç. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın hipotenüsün yarısına eşit olduğunu ve çevrel çemberin merkezinin hipotenüsün orta noktası olduğunu önerme olarak ifade eder.
- MAT.10.1.2.d. Yardımcı elemanlarla ilgili önermeleri kuyu yeri, denge noktası gibi problem bağlamlarında değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Üçgenin yardımcı elemanları neden önemli?
2. Kenarortay ve ağırlık merkezi
3. Kenar orta dikme ve çevrel çember
4. Yükseklik ve diklik merkezi
5. Çözümlü örnekler
6. Simülasyonda keşif: tahmin, gözlem, genelleme
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Kenarortay
- Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası.
- Ağırlık merkezi (G)
- Üç kenarortayın kesişim noktası; her kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler ve daima üçgenin içindedir.
- Kenar orta dikme
- Bir kenarın orta noktasından o kenara çizilen dik doğru; üzerindeki her nokta kenarın uçlarına eşit uzaklıktadır.
- Çevrel çember merkezi (O)
- Üç kenar orta dikmenin kesişim noktası; köşelere eşit uzaklıktadır (|OA| = |OB| = |OC| = R).
- Çevrel çember
- Merkezi O, yarıçapı R olan ve üçgenin üç köşesinden geçen çember.
- Yükseklik
- Bir köşeden karşı kenarın doğrusuna çizilen dik doğru parçası.
- Diklik merkezi (H)
- Üç yüksekliğin ya da uzantılarının kesişim noktası; dar açılıda içte, dik açılıda dik açı köşesinde, geniş açılıda dıştadır.
- Hipotenüse ait kenarortay
- Dik üçgende hipotenüsün orta noktasına inen kenarortay; uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir.
Örnek soru
ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve G ağırlık merkezidir. |AD| = 18 cm olduğuna göre |GD| kaç cm'dir?
- 3
- 6
- 9
- 12
- 13,5
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler: |AG| : |GD| = 2 : 1.
2. Kenarortay 3 eşit parçaya ayrılır; |GD| bunlardan biridir: $|GD| = \dfrac{1}{3}\cdot 18 = 6$ cm.
3. Kontrol: $|AG| = 12$ cm ve $12 + 6 = 18$ olur.
Doğru cevap: B. 12 cm değeri |GD| değil, |AG| uzunluğudur; 9 cm ise kenarortayı yarı yarıya bölen yanlış düşüncenin sonucudur.