10. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Geometrik Şekiller
Üçgenin Alanı
Bir arsanın değeri alanına bağlıdır; ama üçgen arsanın alanını bulmak için hangi kenarı ve hangi yüksekliği ölçeceksin? Üstelik köşesini kaydırdığında alanın hiç değişmediği üçgenler var. Bu konuda alanın hangi elemanlara göre değiştiğini taban ve yükseklik üzerinden gözleyecek, aynı alanın üç farklı taban-yükseklik çiftiyle hesaplanabildiğini, yükseklikleri ortak üçgenlerde alanların tabanlarla, benzer üçgenlerde benzerlik oranının karesiyle orantılı olduğunu bulacak ve iki kenar ile aradaki açıdan alanı bulmayı öğreneceksin.
Kazanımlar
- MAT.10.1.3.a. Bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin değişiminin üçgenin alanını nasıl değiştireceğine ilişkin varsayımda bulunur ve gözlemleriyle sınar.
- MAT.10.1.3.b. Üç farklı taban-yükseklik çiftiyle aynı alanın bulunduğunu ve tabana paralel doğru üzerinde kaydırılan köşenin alanı değiştirmediğini genellemeye çevirir.
- MAT.10.1.3.c. Yükseklikleri eşit üçgenlerde alanların taban oranına, benzer üçgenlerde alanların benzerlik oranının karesine eşit olduğunu kullanarak alan hesaplar.
- MAT.10.1.3.ç. İki kenarı ve aralarındaki açı verilen üçgenin alanını $\tfrac12\,b\,c\,\sin A$ bağıntısıyla bulur; açı değişince alanın nasıl değiştiğini yorumlar.
- MAT.10.1.3.d. Alan önermelerini arsa, çatı gibi gerçek yaşam problemleri bağlamında değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Bağlam: üçgen arsanın alanı
2. Alan = ½ · taban · yükseklik
3. Paralel doğrular arasında ortak tabanlı üçgenler
4. Alan oranları: ortak yükseklik ve benzerlik
5. Sinüslü alan formülü: ½ · b · c · sin A
6. Çözümlü örnekler
7. Simülasyonda keşif ve gerçek yaşam
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Taban
- Alan hesabı için seçilen kenar; üçgenin herhangi bir kenarı taban olabilir.
- Yükseklik
- Karşı köşeden tabanın doğrusuna indirilen dik doğru parçası; geniş açılı üçgende dışarı düşebilir.
- Alan formülü
- Alan = ½ · taban · yükseklik; üç farklı taban-yükseklik çiftiyle aynı değer bulunur.
- Paralel doğrular arasında alan
- Tabanı sabit, karşı köşesi tabana paralel bir doğru üzerinde gezen üçgenlerin alanı değişmez.
- Ortak yükseklik
- Tabanları aynı doğru üzerinde olan ve karşı köşeleri ortak olan üçgenlerin yüksekliği; alanlar taban oranıyla orantılıdır.
- Benzerlik oranı (k)
- Benzer üçgenlerde karşılık gelen kenarların oranı; alanların oranı k² olur.
- Sinüslü alan formülü
- İki kenar ve aralarındaki açı için Alan = ½ · b · c · sin A; A = 90° iken en büyük.
- Kenarortay ve alan
- Kenarortay üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.
Örnek soru
Bir ABC üçgeninde |BC| = 14 cm ve bu kenara ait yükseklik 9 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
- 23
- 126
- 63
- 31,5
- 54
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
2. $\text{Alan} = \dfrac{14\cdot 9}{2} = \dfrac{126}{2} = 63\ \text{cm}^2$.
Doğru cevap: C. 126 cm², ½ çarpanı unutulduğunda bulunan dikdörtgenin alanıdır; 23 ise 14 ile 9'un toplamıdır.