10. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Sayma, Algoritma ve Bilişim
Sıralama ve Faktöriyel
Bir yarışta ilk üç sırayı kimin alacağı, bir şifredeki rakamların sırası, bir fotoğrafta kimin nerede duracağı: hepsinde sıra önemlidir ve aynı nesneler farklı sıralanınca farklı sonuçlar çıkar. Bu konuda sıra sıra doldurma stratejisiyle sıralamaları sayacak, faktöriyeli yalnızca sayma bağlamında kullanacak, özdeş nesneler ve kısıtlar olduğunda stratejini uyarlayacak ve kareli zeminde yol sayısını bir sıralama problemine dönüştüreceksin.
Kazanımlar
- MAT.10.5.1.a. Sıralama probleminde sayılacak nesneleri ve sıranın önemli olup olmadığını belirler.
- MAT.10.5.1.d. n nesnenin bütün sıralamalarını ve n nesneden r tanesinin sıralanışlarını sıra sıra doldurarak çarpma stratejisiyle sayar; faktöriyeli sayma bağlamında kullanır.
- MAT.10.5.1.e. Tekrara izin verilen ve verilmeyen durumlarda seçenek sayılarının nasıl değiştiğini açıklayarak sıralama sayısını bulur.
- MAT.10.5.1.d. Yan yana olma, başta olmama gibi kısıtları bloğu tek nesne sayma ya da "tümü − istenmeyen" stratejisiyle çözer.
- MAT.10.5.1.ç. Özdeş nesneler içeren toplulukların farklı sıralanışlarını, fazladan sayılan durumlara bölerek bulur.
- MAT.10.5.1.ç. Kareli zeminde yol sayısı problemini harf dizilişi problemine (eş problem) dönüştürüp sonucu listeleme ya da ızgara toplamlarıyla kontrol eder.
Konu anlatımı
1. Sıra önemli olduğunda
2. Faktöriyel ve n nesnenin r tanesini sıralamak
3. Tekrara izin verilirse
4. Kısıtlı sıralamalar
5. Özdeş nesneler ve eş problemler
6. Çözümlü örnekler
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Sıralama
- Nesnelerin sıra önemli olacak biçimde yan yana ya da art arda dizilmesi; aynı nesneler farklı sırayla ayrı sonuç sayılır.
- Sıra sıra doldurma
- Boş sıraları tek tek doldurup her sıradaki seçenek sayısını çarpma stratejisi.
- Faktöriyel (n!)
- 1'den n'ye kadar doğal sayıların çarpımı; n farklı nesnenin bütün sıralamalarının sayısı.
- Tekrarlı sıralama
- Aynı nesnenin birden fazla sırada kullanılabildiği sıralama; her sıradaki seçenek sayısı değişmez.
- Blok yöntemi
- Yan yana olması istenen nesneleri tek nesne sayıp blok içi sıralamayı ayrıca çarpma.
- Özdeş nesne
- Birbirinden ayırt edilemeyen nesne; yer değiştirmeleri yeni bir sıralama oluşturmaz.
- Eş problem
- Görünüşte farklı ama aynı sayma yapısına sahip problemler (kareli zeminde yol ve S–Y harf dizilişi gibi).
Örnek soru
Beş arkadaş bir fotoğraf çekilmek için yan yana tek sıra hâlinde duracaktır. Kaç farklı sıralama yapılabilir?
- 24
- 60
- 120
- 25
- 720
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Sol baştan sağa doğru sıraları dolduralım.
2. 1. sıra için 5 kişi, 2. sıra için kalan 4, 3. sıra için 3, 4. sıra için 2, son sıra için 1 seçenek vardır.
3. Art arda adımlar çarpılır: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5! = 120$.
Doğru cevap: C. 25 şıkkı her sıra için 5 seçenek varmış gibi (5 · 5) yapılan hatadır; kişi bir kez kullanılınca sonraki sıralarda yoktur. 24 şıkkı son kişiyi, 720 şıkkı ise fazladan bir kişiyi sayıma katar.