10. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Geometrik Şekiller
Sinüs ve Kosinüs Teoremleri
Bir gölün iki kıyısındaki noktaların arasını ölçmek için suyun üzerinden geçemezsin. Ama kıyıdan iki uzaklık ve bir açı ölçersen aradaki mesafeyi hesaplayabilirsin. Dik üçgen olmayan üçgenlerde kenar ve açı ilişkisini kuran iki teorem bunu mümkün kılar: sinüs teoremi ve kosinüs teoremi. Bu konuda sinüs teoremini sinüslü alan formülüyle doğrulayacak, kosinüs teoremini ek çizim ve Pisagor teoremiyle ispatlayacak, elindeki veriye göre hangi teoremin kullanılacağına karar verecek ve ikisini gerçek yaşam problemlerine uygulayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.1.4.a. Sinüs teoremini sinüslü alan formülünden yararlanarak doğrular ve $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ eşitliğinin çevrel çemberle ilişkisini açıklar.
- MAT.10.1.4.b. Kosinüs teoremini bir yükseklik (ek çizim) ve Pisagor teoremi ile ispatlar; dar, dik ve geniş açı durumlarını ayırt eder.
- MAT.10.1.4.c. İki açı ve bir kenar, iki kenar ve aradaki açı, üç kenar ya da iki kenar ve karşı açı verildiğinde hangi teoremin kullanılacağını gerekçesiyle belirler.
- MAT.10.1.4.ç. Doğrulama ve ispatı yeni durumlara (geniş açılı üçgen, $C = 90^\circ$ için Pisagor) uyarlayarak değerlendirir.
- MAT.10.1.4.d. İki teoremi uzaklık ve yükseklik problemlerinde kullanır.
Konu anlatımı
1. Bağlam: ölçemediğin uzaklığı hesaplamak
2. Sinüs teoremi ve sinüslü alanla doğrulama
3. Kosinüs teoremi ve ispatı
4. Hangi teorem? Karar tablosu
5. Çözümlü örnekler
6. Simülasyonda keşif: tahmin, doğrulama, uyarlama
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Sinüs teoremi
- a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R; her kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve çevrel çemberin çapına eşittir.
- Kosinüs teoremi
- c² = a² + b² − 2ab·cos C; iki kenar ve aralarındaki açıdan üçüncü kenarı, üç kenardan açıyı bulmayı sağlar.
- Çevrel çember yarıçapı (R)
- Üçgenin üç köşesinden geçen çemberin yarıçapı; sinüs teoreminde 2R oranına eşittir.
- Sinüslü alan formülü
- Alan = ½·b·c·sin A; üç farklı yazılışı sinüs teoreminin doğrulanmasında kullanılır.
- Kenar-açı eşleşmesi
- Bir kenar ile onun karşısındaki açının oluşturduğu çift; sinüs teoreminin kullanılması için en az bir tane gerekir.
- Pisagor teoremi
- Kosinüs teoreminin C = 90° için özel hâli; c² = a² + b².
- Dar, dik, geniş açı yorumu
- cos C pozitif, sıfır ya da negatif olduğuna göre c² sırasıyla a² + b²'den küçük, ona eşit ya da büyüktür.
- Ek çizim
- Kosinüs teoreminin ispatında bir köşeden karşı kenarın doğrusuna indirilen yükseklik; üçgeni iki dik üçgene ayırır.
Örnek soru
ABC üçgeninde |BC| = 10 cm ve m(A) = 30°'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?
- 5
- 20
- 5√3
- 10√3
- 10
Doğru cevap: E
Çözüm
1. Sinüs teoremine göre $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ ve $a = |BC| = 10$, $A = 30^\circ$.
2. $2R = \dfrac{10}{\sin 30^\circ} = \dfrac{10}{1/2} = 20$.
3. Buradan $R = 10$ cm.
Doğru cevap: E. 20 cm, çemberin çapıdır ($2R$); yarıçapı sorulduğunda yarısı alınmalıdır. 5 cm ise $\sin 30^\circ$ yerine 1 kullanıp bölmekten gelir.