11. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Trigonometrik Fonksiyonlar
Açı Ölçü Birimleri ve Birim Çember
Dönme dolap, saat kolları, bisiklet tekeri... Dönen her şey bir açı ve bir "kaç tur?" sorusu taşır. Bu konuda açıyı iki farklı birimle (derece ve radyan) ölçmeyi, saat yönünü ve turları hesaba katan yönlü açıyı, birim çember denklemini ve çember üzerindeki noktanın koordinatlarını ($\cos\theta$, $\sin\theta$) öğreneceksin. Sonunda her gerçek sayıyı çembere sararak bir açıya ve bir noktaya eşleyebilecek, trigonometrik fonksiyonların neden tüm gerçek sayılarda tanımlı olduğunu açıklayabileceksin.
Kazanımlar
- MAT.11.3.1.a. Derece ve radyan cinsinden verilen açı ölçülerini $d/180 = r/\pi$ orantısıyla birbirine dönüştürür.
- MAT.11.3.1.a. Yönlü açıyı (saat yönünün tersi pozitif) ve tam turları dikkate alarak bir açının esas ölçüsünü bulur.
- MAT.11.3.1.b. Birim çemberin denklemini $x^2+y^2=1$ olarak yazar; bitim noktasının apsisinin kosinüs, ordinatının sinüs olduğunu açıklar.
- MAT.11.3.1.b. Özel açıların (30°, 45°, 60°, 90°...) bitim noktalarının koordinatlarını birim çemberde belirler.
- MAT.11.3.1.ç. Gerçek sayı doğrusunun birim çembere sarılmasıyla her gerçek sayıya bir açı ve bir nokta karşılık geldiğini, yay uzunluğunun radyan ölçüsüne eşit olduğunu (yalnızca $r=1$ iken) yorumlar.
Konu anlatımı
Dönmeyi nasıl ölçeriz?
Derece ve radyan
Esas ölçü
Birim çember ve koordinatlar
Gerçek sayı doğrusunu çembere sarmak
Çözümlü örnekler
Simülasyonla keşif ve görev
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Özet ve sonraki konuya bağlantı
Anahtar terimler
- Yönlü açı
- Dönme yönü dikkate alınan açı; saat yönünün tersi pozitif, saat yönü negatiftir.
- Derece
- Bir tam turun 360 eşit parçasından birinin ölçüsü.
- Radyan
- Birim çemberde uzunluğu 1 olan yayı gören merkez açının ölçüsü; 180° = π rad.
- Esas ölçü
- Bitim kolu aynı olan açılar arasında [0, 2π) aralığına düşen ölçü.
- Birim çember
- Merkezi orijinde, yarıçapı 1 olan çember; denklemi x² + y² = 1.
- Bitim noktası
- Standart konumdaki açının bitim kolunun birim çemberi kestiği nokta; P(cos θ, sin θ).
- Kosinüs
- Bitim noktasının apsisi.
- Sinüs
- Bitim noktasının ordinatı.
- Sarma
- Gerçek sayı doğrusunun 0 noktası A(1, 0) da olacak biçimde birim çembere sarılması.
Örnek soru
$150^\circ$ lik açının radyan cinsinden ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?
- 6π/5
- 5π/3
- 3π/4
- 5π/6
- 5π/12
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Dönüşüm orantısı: $\dfrac{150}{180}=\dfrac{r}{\pi}$.
2. $r=\dfrac{150\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$. Sonuç: 5π/6.
Çeldiriciler: $6\pi/5$ oranı ters çevirir, $5\pi/3$ ve $5\pi/12$ ise paydayı yanlış sadeleştirir.