11. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Trigonometrik Fonksiyonlar
Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları
Bir dönme dolabın kabininin yerden yüksekliğini, bir sarkacın denge noktasından uzaklığını ya da bir ses dalgasının basıncını zamana göre çizersen hep aynı dalga biçimini görürsün. Bu dalganın matematiksel adı sinüs ve kosinüstür. Bu konuda birim çemberde dönen noktanın yüksekliğinden ve apsisinden $y=\sin x$ ve $y=\cos x$ grafiklerini kuracak; tanım ve görüntü kümesi, periyot, sıfırlar, en büyük-en küçük değerler, artan-azalan aralıklar, teklik-çiftlik ve değer sıralamasını grafik ve çemberle yorumlayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.11.3.1.a. $y=\sin x$ ve $y=\cos x$ referans fonksiyonlarının tanım kümesini, görüntü kümesini ve periyodunu belirler.
- MAT.11.3.1.a. Sinüs ve kosinüsün sıfırlarını, en büyük ve en küçük değer aldığı noktaları belirler.
- MAT.11.3.1.a. Sinüs ve kosinüsün işaretini, artan ve azalan olduğu aralıkları grafik ve birim çemberle belirler.
- MAT.11.3.1.b. Sinüsün tek, kosinüsün çift fonksiyon olduğunu çember simetrisiyle açıklar.
- MAT.11.3.1.b. Trigonometrik değerleri çember ya da grafik yardımıyla karşılaştırıp sıralar.
- MAT.11.3.1.h. $\sin x=\cos(3\pi/2+x)$ gibi önermeleri grafik veya birim çemberle doğrular.
Konu anlatımı
Dönen noktadan dalgaya
Referans fonksiyonların nitel özellikleri
Teklik-çiftlik ve simetriler
Değer sıralaması
Çözümlü örnekler
Simülasyonla keşif ve görev
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Sinüs fonksiyonu
- Birim çemberde bitim noktasının ordinatını veren f(x) = sin x fonksiyonu.
- Kosinüs fonksiyonu
- Birim çemberde bitim noktasının apsisini veren f(x) = cos x fonksiyonu.
- Periyot
- f(x + T) = f(x) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T; sin ve cos için 2π.
- Görüntü kümesi
- Fonksiyonun aldığı bütün değerlerin kümesi; sin ve cos için [−1, 1].
- Tek fonksiyon
- f(−x) = −f(x) olan fonksiyon; grafiği orijine göre simetriktir (sin).
- Çift fonksiyon
- f(−x) = f(x) olan fonksiyon; grafiği y eksenine göre simetriktir (cos).
- Artan-azalan aralık
- Fonksiyonun değerinin büyüdüğü ya da küçüldüğü x aralığı.
- Sıfır
- f(x) = 0 yapan x değeri; grafiğin x eksenini kestiği nokta.
Örnek soru
$f(x)=\sin x$ fonksiyonunun görüntü kümesi ve periyodu aşağıdakilerden hangisidir?
- [−1, 1] ve π
- ℝ ve 2π
- [0, 1] ve 2π
- [−1, 1] ve 2π
- [−2, 2] ve 2π
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Birim çemberde noktanın ordinatı $-1$ ile $1$ arasında kalır: görüntü kümesi $[-1,1]$.
2. Bir tam tur sonunda nokta aynı yere gelir: periyot $2\pi$.
Doğru seçenek: [−1, 1] ve 2π. Periyotu $\pi$ olarak vermek tanjanta özgü bir değerdir; $[0,1]$ ise negatif yükseklikleri unutmaktır.