11. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Geometrik Şekiller

Çokgenlerle İlgili Problemler

Halı motifleri, fayans ve karo döşemeleri, kubbe tabanları, bahçe planları: gerçek hayattaki çokgen problemleri çoğu zaman tek bir formülle çözülmez, önce şekli okumayı ve parçalara ayırmayı gerektirir. Bu konuda dörtgen ve çokgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerini bir araya getirerek problemleri çözeceksin. Her problemde aynı sırayı izleyeceksin: parçaları belirle, aralarındaki ilişkileri bul, matematiksel temsile dök, bir strateji kur, uygula ve sonucu kontrol et.

Kazanımlar

• MAT.11.2.5.a. Çokgen içeren bir problemin parçalarını (nicelikler, şekiller) belirler.
• MAT.11.2.5.b. Parçalar arasındaki ilişkileri (eşlik, paralellik, oran, alan toplamı) belirler.
• MAT.11.2.5.c. Problemin bileşenlerini ve ilişkilerini bağlama uygun şekil, denklem ya da tabloya dönüştürür.
• MAT.11.2.5.ç. Problemin öncüllerini ve ulaşmak istediği sonucu kendi ifadeleriyle açıklar.
• MAT.11.2.5.d–e. Problemin çözümü için strateji (parçalama, eş parçalar, alan çıkarma, benzerlik) geliştirir ve uygulayıp sonuca ulaşır.

Konu anlatımı

1. 1. Problem çözme adımları

2. 2. Orta noktalar dörtgeni (halı motifi)

3. 3. Köşe kesme: sekizgen karo

4. 4. Düzgün altıgeni parçalama

5. 5. Döşeme, kubbe ve süsleme problemleri

6. 6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

Anahtar terimler

Orta noktalar dörtgeni

Bir dörtgenin kenar orta noktalarının sırayla birleştirilmesiyle oluşan dörtgen; her zaman paralelkenardır ve alanı ilk dörtgenin yarısıdır.

Orta taban (üçgende)

Üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası; üçüncü kenara paralel ve onun yarısı uzunluktadır.

Eş parça

Biçimleri ve alanları birbirine eşit olan parçalar; alan hesabında parçalama stratejisinin temelidir.

Alan çıkarma

Bir şeklin alanını, onu kapsayan basit bir şeklin alanından fazla parçaları çıkararak bulma.

Boyalı alan

Eş parçalara bölünmüş şekilde $k$ parça boyanırsa $\dfrac{k}{p}$ kesri kadar alan; $p$ toplam parça sayısıdır.

Döşeme

Çokgenlerin boşluk ve çakışma olmadan düzlemi doldurması; bir köşede iç açıların toplamı $360^\circ$ olmalıdır.

Strateji

Bir problemi çözmek için seçilen yol; parçalama, alan çıkarma, köşegen çizme gibi.

Örnek soru

Bir halı motifinde alanı 40 cm² olan ABCD dışbükey dörtgeninin kenar orta noktaları sırayla birleştirilerek EFGH dörtgeni elde ediliyor. EFGH'nin alanı kaç cm²'dir?

1. 10
2. 40
3. 20
4. 60
5. 80

Doğru cevap: C

Çözüm

1. Orta noktalar dörtgeninin alanı, ilk dörtgenin alanının yarısıdır: EFGH, kenarları köşegenlerin yarısı olan ve aralarındaki açı aynı olan bir paralelkenardır; $\tfrac{1}{4}d_1 d_2 \sin\theta = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2}d_1 d_2\sin\theta$.
2. $A(EFGH) = \dfrac{40}{2} = $ 20 cm².
10 cm² "dörtte bir" yanılgısıdır (üçgen orta noktaları ile karıştırma); 40 cm² alanın değişmediğini sanmaktır.

11. Sınıf Matematik: tüm konular