11. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Fonksiyonlarda Bileşke ve İşlemler
Fonksiyonların Bileşkesi
Bir mağazada önce indirim, sonra kupon uygulanır; bir sensör önce sıcaklığı ölçer, sonra bu ölçümü başka bir sisteme aktarır. Bu tür zincirleme olaylarda bir adımın çıktısı bir sonrakinin girdisi olur. Fonksiyonların bileşkesi bu zincirin matematiksel adıdır. Bu konuda $(f\circ g)(x) = f(g(x))$ gösterimini kullanacak, bileşkeyi tabloda, grafikte ve cebirde bulacak, sıranın neden önemli olduğunu göreceksin. Ayrıca bileşkenin tanım kümesini belirleyecek ve verilen bir fonksiyonu iki ya da daha fazla fonksiyonun bileşkesi olarak yazacaksın.
Kazanımlar
- MAT.11.3.7.a. Bileşke fonksiyonu ve bileşkeyi oluşturan fonksiyonları cebirsel ve grafik temsillerle belirler.
- MAT.11.3.7.b. f∘g ile g∘f arasındaki ilişkiyi (sıranın önemini) inceler; bileşkenin tanım kümesini bulur.
- MAT.11.3.7.c. İki fonksiyonun bileşkesiyle elde edilen fonksiyonu (f∘g)(x) = f(g(x)) sembolik diliyle yazar ve sadeleştirir.
- MAT.11.3.7.ç. Verilen bir fonksiyonu iki ya da daha fazla fonksiyonun bileşkesi olarak ifade eder; bileşke ve bir bileşeni bilinirken öbür bileşeni bulur.
- MAT.11.3.7.ğ. Bileşke fonksiyonu gerçek yaşam bağlamında (fiyat, dönüşüm, zincirleme süreç) kullanışlılığı açısından değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Zincirleme işlemler: önce indirim mi, önce kupon mu?
2. Bileşke fonksiyon: tanım ve gösterim
3. Cebirsel temsil: bileşkeyi sadeleştirme
4. Bileşkenin tanım kümesi
5. Bir fonksiyonu bileşke olarak yazma
6. Gerçek yaşamda bileşke
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
8. Özet
Anahtar terimler
- Bileşke fonksiyon
- İki fonksiyonun, birinin çıktısının ötekinin girdisi yapılmasıyla oluşturulan fonksiyon; (f∘g)(x) = f(g(x)).
- İç fonksiyon
- Bileşkede önce çalışan fonksiyon; (f∘g)(x) = f(g(x)) ifadesinde g.
- Dış fonksiyon
- Bileşkede, iç fonksiyonun çıktısını girdi olarak alan fonksiyon; f(g(x)) ifadesinde f.
- Bileşkenin tanım kümesi
- g'nin tanımlı olduğu ve g(x)'in f'nin tanım kümesine girdiği x değerlerinin kümesi: {x ∈ D(g) : g(x) ∈ D(f)}.
- Fonksiyon makinesi
- Girdiyi alıp bir kurala göre çıktıya dönüştüren makine benzetmesi; bileşkede iki makine art arda bağlanır.
- Etkisiz (özdeşlik) fonksiyon
- I(x) = x kuralıyla verilen fonksiyon; bileşkede başka bir fonksiyonu değiştirmez: f∘I = I∘f = f.
- Ayrıştırma
- Verilen bir h fonksiyonunu h = f∘g olacak biçimde iç ve dış fonksiyona ayırma işlemi; çözüm tek olmayabilir.
Örnek soru
$f(x) = 3x - 2$ ve $g(x) = x + 4$ fonksiyonları için $(f\circ g)(2)$ değeri kaçtır?
- $8$
- $16$
- $10$
- $24$
- $4$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $(f\circ g)(2) = f(g(2))$ olduğundan önce iç fonksiyon hesaplanır: $g(2) = 2 + 4 = 6$.
2. Bu sonuç $f$'de $x$ yerine yazılır: $f(6) = 3\cdot 6 - 2 = 16$.
Doğru cevap: B. A şıkkı sıranın tersidir: $(g\circ f)(2) = g(4) = 8$. C şıkkı toplama ($f(2)+g(2) = 4 + 6$), D şıkkı çarpma ($4\cdot 6$) ve E şıkkı yalnız $f(2)$'dir.