11. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Geometrik Şekiller
Çokgenlerin Sınıflandırılması ve Açıları
Bir bahçe planında, bir halı kenarında ya da bir bina cephesinde karşına çıkan çokgenlerin bir kısmı "dışa doğru şişkin", bir kısmı "içeri çökük" görünür. Bu ayrım sadece göze değil, hesaba da yansır: dışbükey çokgende her köşegen içeride kalır ve açı toplamları kenar sayısına bağlı sade formüllerle bulunur. Bu konuda çokgenleri kendi belirlediğin ölçütle sınıflandıracak, dışbükey çokgende iç açılar toplamı $(n-2) \cdot 180^\circ$, dış açılar toplamı $360^\circ$ ve köşegen sayısı $\dfrac{n(n-3)}{2}$ sonuçlarını önce gözlemleyip sonra gerekçelendireceksin.
Kazanımlar
- MAT.11.2.3.a. Çokgenleri ayırt etmek için ölçütler (iç açının $180^\circ$'yi aşması, köşegenin dışarıda kalması) belirler.
- MAT.11.2.3.b. Çokgenleri belirlediği ölçüte göre ayrıştırır, içbükey ve dışbükey olarak sınıflar ve etiketler.
- MAT.11.2.4.a. Dışbükey çokgende bir köşeden çizilen köşegen sayısının $n - 3$, oluşan üçgen sayısının $n - 2$ olduğunu gözlemleyip genelleyerek gerekçelendirir.
- MAT.11.2.4.b. İç açılar toplamının $(n-2) \cdot 180^\circ$, dış açılar toplamının $360^\circ$ ve köşegen sayısının $\dfrac{n(n-3)}{2}$ olduğunu problemlerde kullanır.
- MAT.11.2.4.d. Bu önermeleri problem durumlarına uyarlar ve kullanışlılık açısından değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Çokgen, köşegen ve sınıflandırma ölçütü
2. Dışbükey ve içbükey çokgen
3. Köşegen ve üçgen sayısı
4. İç ve dış açılar toplamı
5. Gerekçelendirme: formülü yeni durumlara uyarlama
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Çokgen
- Uç uca eklenmiş doğru parçalarından oluşan kapalı, kendini kesmeyen şekil.
- Dışbükey çokgen
- Bütün iç açıları $180^\circ$'den küçük olan, bütün köşegenleri iç bölgede kalan çokgen.
- İçbükey çokgen
- En az bir iç açısı $180^\circ$'den büyük olan, bir köşegeni dışarıda kalan çokgen.
- Köşegen
- Çokgenin komşu olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçası.
- İç açılar toplamı
- Dışbükey $n$-genin iç açılarının toplamı: $(n-2) \cdot 180^\circ$.
- Dış açı
- Bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasındaki açı; iç açıyı $180^\circ$'ye tamamlar. Dışbükey çokgende toplamı $360^\circ$.
- Üçgenleme
- Bir köşeden çizilen köşegenlerle çokgeni $n-2$ üçgene bölme işlemi.
Örnek soru
Dokuz kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı kaç derecedir?
- 1080
- 1440
- 1620
- 1260
- 900
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni $n - 2 = 7$ üçgene ayırır.
2. Toplam $7 \cdot 180^\circ = $ $1260^\circ$.
$1620^\circ$ üçgen sayısı yerine kenar sayısıyla çarpılmasıdır ($9 \cdot 180$); $1080^\circ$ sekizgenin toplamıdır.