11. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Geometrik Şekiller
Düzgün Çokgenler
Bal peteğinin altıgen gözleri, Selçuklu ve Osmanlı mimarisindeki sekizgenli yıldız motifleri, bozuk para kenarları ve cami kubbelerinin tabanları düzgün çokgenlerle çevrilidir. Düzgün çokgenin her kenarı ve her açısı eşittir; bu yüzden merkezden bakınca tamamen aynı görünen $n$ tane eş üçgenden oluşur. Bu konuda iç, dış ve merkez açıyı, köşegen sayısını, simetri eksenlerini ve alanı bu "merkez üçgeni" fikriyle bulacak, düzgün beşgen, altıgen ve sekizgen örneklerini inceleyecek ve mimaride düzgün çokgenleri tanıyacaksın.
Kazanımlar
- MAT.11.2.4.a. Düzgün çokgenlerin iç, dış ve merkez açı özelliklerine ilişkin varsayımlarda bulunur ve bunları genellemeye dönüştürür.
- MAT.11.2.4.b. İç açıyı $\left(180^\circ - \dfrac{360^\circ}{n}\right)$, dış ve merkez açıyı $\dfrac{360^\circ}{n}$, köşegen sayısını $\dfrac{n(n-3)}{2}$ ve simetri eksenini $n$ olarak bulur.
- MAT.11.2.4.ç. Düzgün çokgenin alanını merkez üçgenlerinden ($A = \tfrac{1}{2} \cdot \text{çevre} \cdot \text{apotem}$) çıkarır; düzgün altıgen ve sekizgen alanlarını hesaplar.
- MAT.11.2.4.d. Düzgün beşgen, altıgen ve sekizgenin özelliklerini problem durumlarına (döşeme, kubbe tabanı, süsleme) uyarlar.
- MAT.11.2.4.d. Türk-İslam mimarisindeki düzgün çokgenli ve yıldız motifli süslemeleri çokgenlerin köşelerinin birleştirilmesi olarak yorumlar; Ebu Sehl Kuhi'nin çizimlerinin geometriyle ilişkisini tanır.
Konu anlatımı
1. Düzgün çokgen nedir?
2. İç, dış ve merkez açı
3. Merkez üçgeni, apotem ve alan
4. Düzgün beşgen, altıgen ve sekizgen
5. Türk-İslam mimarisinde düzgün çokgenler
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Düzgün çokgen
- Bütün kenarları ve bütün iç açıları eşit olan dışbükey çokgen.
- Merkez açı
- Merkezi ardışık iki köşeye birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu açı; $\dfrac{360^\circ}{n}$.
- Dış açı
- Düzgün çokgende bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasındaki açı; $\dfrac{360^\circ}{n}$, merkez açıya eşit.
- İç açı
- Düzgün çokgenin köşedeki açısı; $180^\circ - \dfrac{360^\circ}{n}$.
- Apotem
- Düzgün çokgenin merkezinden bir kenarın orta noktasına çizilen dik doğru parçası.
- Çevrel yarıçap
- Merkezden bir köşeye olan uzaklık; çokgenin çevrel çemberinin yarıçapı.
- Yıldız çokgen
- Düzgün çokgenin köşelerinin belirli aralıklarla birleştirilmesinden oluşan motif; ör. beşgen yıldız (pentagram).
Örnek soru
Düzgün dokuzgenin bir iç açısı kaç derecedir?
- 135°
- 140°
- 144°
- 150°
- 160°
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Dış açı $= \dfrac{360^\circ}{9} = 40^\circ$.
2. İç açı $= 180^\circ - 40^\circ = $ $140^\circ$ (ya da $\dfrac{7 \cdot 180}{9}$).
$135^\circ$ düzgün sekizgenin, $144^\circ$ düzgün ongenin iç açısıdır.