11. Sınıf Matematik · 2. Ünite: Geometrik Şekiller
Dörtgenlerin Temel Özellikleri ve Alan Bağıntıları
Bir arsanın, bir halının ya da bir kubbe taban planının dört köşesi varsa elindeki şey bir dörtgendir. Dört köşeyi nasıl oynatırsan oyna bazı şeyler hiç değişmez: iç açıların toplamı, dış açıların toplamı, köşegenlerle alan arasındaki bağ. Bu konuda önce varsayım kurup simülasyonda sınayacak, sonra gördüğün örüntüyü üçgen bilgilerinle (açı toplamı, alan, benzerlik) ispatlayacaksın. Burada yalnızca dışbükey dörtgenler incelenir.
Kazanımlar
- MAT.11.2.1.a. Dörtgenlerin iç açıları, dış açıları ve köşegenleri hakkında varsayımlar kurar ve simülasyonda sınar.
- MAT.11.2.1.b. Dışbükey dörtgende iç açılar toplamının 360° ve dış açılar toplamının 360° olduğunu genelleyip hesaplamalarda kullanır.
- MAT.11.2.1.ç. Köşegenleri ve aralarındaki açının sinüsünü kullanarak dörtgenin alanını $A = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta$ ile hesaplar.
- MAT.11.2.1.d. Köşegenlerin dörtgeni oluşturduğu dört üçgenin alanları arasındaki $S_1 \cdot S_3 = S_2 \cdot S_4$ bağıntısını problemlerde kullanır.
- MAT.11.2.1.e. Açı toplamı, benzerlik ve alan özelliklerinden yararlanarak bu önermeleri ispatlar ve ispatın kullanışlılığını değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Dörtgen ve dışbükeylik
2. İç ve dış açılar
3. Köşegenler ve dört üçgen
4. Köşegenlerle alan
5. Genelleme, ispat ve kullanışlılık
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Köşegen
- Dörtgenin karşılıklı iki köşesini birleştiren doğru parçası; dörtgenin iki köşegeni vardır.
- Dışbükey dörtgen
- Bütün iç açıları $180^\circ$'den küçük olan, köşegenleri iç bölgede kalan dörtgen.
- İç açı
- Köşede iki kenarın dörtgenin içinde kalan açısı.
- Dış açı
- Bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasındaki açı; iç açıyı $180^\circ$'ye tamamlar.
- Köşegenler arası açı
- Köşegenlerin kesiştiği noktadaki açı $\theta$; alan formülünde sinüsü kullanılır (dar olanı alınır).
- Alan bağıntısı
- $A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta$; köşegenler ve aralarındaki açıdan alanı verir.
- Karşılıklı üçgenler
- Köşegenlerin oluşturduğu dört üçgenden köşegenlerin kesişim noktasında tepe tepeye olan çiftler; alan çarpımları eşittir.
Örnek soru
Bir ABCD dışbükey dörtgeninde $m(A) = 80^\circ$, $m(B) = 95^\circ$ ve $m(C) = 110^\circ$ olduğuna göre $m(D)$ kaç derecedir?
- 85°
- 75°
- 105°
- 255°
- 95°
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Dışbükey dörtgenin iç açıları toplamı $360^\circ$'dir (bir köşegen onu iki üçgene ayırır: $2 \cdot 180^\circ$).
2. $80^\circ + 95^\circ + 110^\circ = 285^\circ$.
3. $m(D) = 360^\circ - 285^\circ = $ $75^\circ$.
$255^\circ$ şıkkı $540^\circ - 285^\circ$ işleminden gelir; $540^\circ$ beşgenin iç açılar toplamıdır.