11. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlik Problemleri

Bir bakteri kültürü ne zaman 4000'e ulaşır? Bir ilacın kandaki miktarı ne zaman güvenli düzeye iner? pH'ı 3 olan bir çözelti, pH'ı 5 olandan kaç kat asidiktir? Bu soruların hepsi bir üstel ya da logaritmik denklem ya da eşitsizliğe çıkar. Bu konuda gerçek yaşam bağlamlarını (biyoloji, ekonomi, fizik, kimya) üstel ve logaritmik fonksiyonlarla modelleyecek, denklem ve eşitsizlikleri hem cebirsel hem grafiksel olarak çözecek, çözümü farklı bir yöntemle doğrulayacak ve modelin sınırlarını tartışacaksın.

Kazanımlar

• MAT.11.3.6.a. Gerçek yaşam durumunu $N(t) = N_0 \cdot b^{t/T}$, $A(t) = A_0 \cdot (1/2)^{t/H}$ gibi üstel ya da logaritmik bir modele dönüştürür; modeldeki fonksiyonların nitel özelliklerini belirler.
• MAT.11.3.6.c. Problemi sözel, tablo, grafik ve cebirsel temsiller arasında dönüştürür; her temsilin bağlamdaki anlamını açıklar.
• MAT.11.3.6.d. Üstel denklemleri tabanları eşitleyerek, değişken değiştirerek ya da logaritma alarak; logaritmik denklemleri üstel biçime çevirerek ve tanım koşulunu kontrol ederek çözer.
• MAT.11.3.6.e. Üstel ve logaritmik eşitsizlikleri taban 1'den büyük ya da küçük olma durumuna göre yönü yorumlayarak çözer.
• MAT.11.3.6.f. Çözümü grafikten (kesişim noktası), yerine koyarak ya da başka bir yöntemle doğrular.
• MAT.11.3.6.ğ. pH, desibel ve deprem büyüklüğü gibi logaritmik ölçeklerde fark ve oran ilişkisini yorumlar; salgın gibi modellerin sınırlılıklarını değerlendirir.

Konu anlatımı

1. Bir problem, birçok temsil

2. Üstel denklemler

3. Logaritmik denklemler: tanım koşulu şart

4. Eşitsizliklerde yönün yorumu

5. Gerçek yaşam bağlamı 1: nüfus ve hücre büyümesi

6. Gerçek yaşam bağlamı 2: yarılanma (ilaç, radyoaktif madde)

7. Gerçek yaşam bağlamı 3: logaritmik ölçekler (pH, desibel, deprem)

8. Çözümü doğrulama ve strateji

9. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

10. Özet ve bağlantılar

Anahtar terimler

Üstel denklem

Bilinmeyenin üs konumunda bulunduğu denklem; ör. $2^{x+1}=32$.

Logaritmik denklem

Bilinmeyenin logaritma içinde bulunduğu denklem; çözümde tanım koşulu kontrol edilir.

Yarılanma süresi

Bir niceliğin başlangıç değerinin yarısına inmesi için geçen süre; $H$ ile gösterilir.

Logaritmik ölçek

Eşit farkların eşit oranlara karşılık geldiği ölçek; pH, desibel ve deprem büyüklüğü örnektir.

pH

$\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$; çözeltinin asitlik-bazlık düzeyi.

Desibel (dB)

$L = 10\log(I/I_0)$; ses şiddet düzeyi.

Deprem büyüklüğü

$M = \log(A/A_0)$; sismik genliğin logaritması.

Eşitsizlik yönü

$a>1$ için üstel/logaritmik eşitsizlikte korunur, $0<a<1$ için değişir.

Model sınırı

Bir matematiksel modelin geçerli olduğu koşullar ve aralık; ör. kaynak sınırı, bağışıklık.

Örnek soru

$5^{2x-1} = 125$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Doğru cevap: B

Çözüm

1. $125 = 5^3$ olduğundan denklem $5^{2x-1} = 5^3$ olur.
2. Üstel fonksiyon bire bir olduğundan $2x - 1 = 3 \Rightarrow x = 2$.
3. Kontrol: $5^{2\cdot2-1} = 5^3 = 125$ ✓.
Cevap: B. C şıkkı üssü doğrudan $x=3$ alır ($2x-1$ yerine yalnızca $x$ düşünür).

11. Sınıf Matematik: tüm konular