11. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Trigonometrik Fonksiyonlar
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları
Bir yokuşun eğimi, güneş ışığının yere düşme açısına göre bir cismin gölge boyu, bir rampanın dikliği... Hepsinde "yükseklik bölü yatay uzaklık" oranı karşına çıkar. Matematikte bu oran tanjanttır. Bu konuda tanjantı ve kotanjantı birim çemberde bir doğru parçası olarak göreceksin, $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ ve $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ eşitliklerinden tanım kümelerini, grafiklerini, periyotlarını ve diğer özelliklerini çıkaracaksın. Sonunda dikey asimptotun neden oluştuğunu ve neden periyodun $\pi$ olduğunu açıklayabileceksin.
Kazanımlar
- MAT.11.3.1.a. $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ ve $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ eşitliklerini kullanarak tanjant ve kotanjantın tanım ve görüntü kümelerini belirler.
- MAT.11.3.1.a. Tanjant ve kotanjantın periyodunu, sıfırlarını, işaretini ve artan-azalan olma durumunu belirler.
- MAT.11.3.1.b. Tanjant ve kotanjantı birim çember üzerinde uzunluk olarak gösterir; grafikteki dikey asimptotları çemberle ilişkilendirir.
- MAT.11.3.1.b. Özel açıların ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$) tanjant ve kotanjant değerlerini bulur; değerleri sıralar.
- MAT.11.3.1.e. Tanjantın ve kotanjantın tekliği, periyodu ve simetri özellikleriyle ilgili genellemeler yapar ve gerekçelendirir.
Konu anlatımı
Eğim, yokuş ve gölge: tanjant nedir?
Tanım kümesi, asimptot ve görüntü kümesi
Periyot, işaret ve artanlık
Çözümlü örnekler
Simülasyonla keşif ve görev
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Tanjant
- tan x = sin x / cos x; bitim kolunun eğimi, birim çemberde x = 1 teğeti üzerindeki uzunluk.
- Kotanjant
- cot x = cos x / sin x = 1 / tan x; eğimin tersi.
- Tanjant çizgisi
- Birim çemberde A(1, 0) noktasından çizilen teğet; OP doğrusunu kestiği noktanın ordinatı tan x tir.
- Dikey asimptot
- Grafiğin sınırsızca yaklaştığı ama asla kesmediği dikey doğru; tanjantta x = π/2 + kπ.
- Periyot
- f(x + T) = f(x) olan en küçük pozitif T; tan ve cot için π.
- Karşıt nokta
- Çemberde θ ve θ + π açılarının bitim noktaları; orijine göre simetriktir.
- Tanım kümesi
- Fonksiyonun tanımlı olduğu x değerlerinin kümesi.
- Tek fonksiyon
- f(−x) = −f(x); grafiği orijine göre simetriktir.
Örnek soru
$f(x)=\tan x$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ($k\in\mathbb{Z}$)
- ℝ
- ℝ − {kπ}
- ℝ − {π/2 + kπ}
- ℝ − {2kπ}
- ℝ − {kπ/2}
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ olduğundan $\cos x=0$ iken tanımsızdır.
2. $\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
Tanım kümesi: ℝ − {π/2 + kπ}. $\mathbb{R}-\{k\pi\}$ kotanjantın tanım kümesidir; $\mathbb{R}-\{k\pi/2\}$ ikisinin ortak tanım kümesidir.