12. Sınıf Matematik · 6. Ünite: Değişimin Matematiği: Türev

Bileşke Fonksiyonun Türevi

Birçok fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısının başka bir fonksiyona girdi olmasıyla oluşur: (2x + 1)³ önce 2x + 1'i, sonra küpünü hesaplar. Bu tür bileşke fonksiyonların türevi, değişimin bir halkadan ötekine aktarılmasıyla bulunur: x değişir, iç fonksiyon değişir, dış fonksiyon değişir. Bu konuda Δx → Δu → Δy zincirini sayılarla inceleyip zincir kuralını tahmin edecek, sınayacak ve iki fonksiyonun bileşkesinde uygulayacaksın.

Kazanımlar

Konu anlatımı

  1. 1. Değişimin zincirleme aktarılması

  2. 2. Bileşke fonksiyonu ayrıştırmak

  3. 3. Varsayım ve sayısal sınama

  4. 4. Zincir kuralı: önerme ve gerekçe

  5. 5. Çözümlü örnekler

  6. 6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

Anahtar terimler

Bileşke fonksiyon
(f∘g)(x) = f(g(x)); önce g, sonra f uygulanır.
İç fonksiyon
Bileşkede ilk çalışan fonksiyon, g(x); çıktısı u dış fonksiyona girer.
Dış fonksiyon
Bileşkede son çalışan fonksiyon, f(u).
Zincir kuralı
(f∘g)′(x) = f′(g(x))·g′(x); dış türev iç fonksiyonun değerinde hesaplanır ve iç türevle çarpılır.
Δx → Δu → Δy zinciri
x'teki değişimin iç fonksiyonu, onun da dış fonksiyonu değiştirmesi; oranlar çarpılır.
Leibniz gösterimi
dy/dx = (dy/du)·(du/dx); zincir kuralının oran biçiminde yazılışı.
Yanlış formül f′(x)·g′(x)
Dış türevin x'te hesaplandığı yaygın hata; doğrusu f′(g(x))·g′(x).
İç türevi unutma hatası
Yalnızca f′(g(x)) yazıp g′(x) çarpanını atlamak.

Örnek soru

$h(x) = (x + 2)^4$ fonksiyonu için $h'(1)$ kaçtır?

  1. 4
  2. 27
  3. 108
  4. 36
  5. 12

Doğru cevap: C

Çözüm

1. İç fonksiyon $g(x) = x + 2$, $g'(x) = 1$; dış fonksiyon $f(u) = u^4$, $f'(u) = 4u^3$.
2. $h'(x) = 4(x+2)^3\cdot 1$.
3. $h'(1) = 4\cdot 27 = 108$.
Doğru cevap: C. $4$ yanlış formül $f'(x)g'(x)$'in sonucudur ($4\cdot 1^3\cdot 1$); $27$ ise $4$ katsayısını unutmaktır.

12. Sınıf Matematik: tüm konular