12. Sınıf Matematik · 7. Ünite: Değişimin Matematiği: Türevin Uygulamaları
Türev ve Artanlık-Azalanlık, Ekstremum Noktalar
Bir koşucunun hızı sıfır olduğunda ne olur? Yokuş çıkan bir yolun en yüksek noktasında yolun eğimi nasıl değişir? Türev, bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimidir; eğimin işareti de fonksiyonun yükselip alçaldığını söyler. Bu konuda f′ fonksiyonunun işaretinden f nin artan ve azalan olduğu aralıkları, yerel ekstremum noktalarını bulacak, f′(x) = 0 olmasına rağmen ekstremum bulunmayan durumu (f(x) = x³) açıklayacak ve f ile f′ nün grafikleri arasında geçiş yapacaksın.
Kazanımlar
- MAT.12.4.8.a. Teğetin eğimi ile f′(x) değeri arasındaki ilişkiden yararlanarak f nin bir noktada artan, azalan ya da yatay teğetli olduğuna dair varsayımda bulunur.
- MAT.12.4.8.b. Farklı polinom fonksiyonlarda f′ nün işaretini inceleyerek artan ve azalan aralıkları belirler, örüntüyü genelleyip önerme olarak yazar.
- MAT.12.4.8.c. f′ nün işaret tablosundan yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını ve bu noktalardaki fonksiyon değerlerini bulur.
- MAT.12.4.8.ç. f′(x) = 0 olan bir noktanın ekstremum olması için f′ nün işaret değiştirmesi gerektiğini, f(x) = x³ örneği üzerinden gerekçelendirir.
- MAT.12.4.8.d. Verilen f′ grafiğinden ya da işaret tablosundan f nin davranışını, kapalı aralıkta mutlak ekstremum değerlerini ve parametreli fonksiyonlarda artanlık koşulunu yorumlar.
Konu anlatımı
1. Eğim neyi söyler?
2. Artanlık ve azalanlık: f′ nün işareti
3. Kritik nokta ve yerel ekstremum
4. f′(x) = 0 olması yetmez: f(x) = x³ istisnası
5. Kapalı aralıkta mutlak ekstremum
6. f′ grafiğinden f yi okumak
7. Çözümlü örnekler ve parametre problemleri
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Teğet eğimi
- Grafiğe bir noktada çizilen teğet doğrusunun eğimi; o noktadaki türev değeri f′(x₀) dır.
- Artan fonksiyon
- x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) olan fonksiyon; türevi pozitif olan aralıkta f artandır.
- Azalan fonksiyon
- x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) olan fonksiyon; türevi negatif olan aralıkta f azalandır.
- Kritik nokta
- f′(c) = 0 olan (ya da f′(c) tanımsız olan) c noktası; yerel ekstremumun tek adayıdır.
- Yerel maksimum / minimum
- Yakın çevredeki tüm değerlerden büyük (küçük) olan fonksiyon değeri; f′ nün işaretinin + dan − ye (− den + ya) geçtiği yerde oluşur.
- İşaret tablosu
- f′ nün köklerinin ayırdığı aralıklarda f′ nün işaretini ve f nin yönünü gösteren tablo.
- Mutlak maksimum / minimum
- Tüm incelenen aralıktaki en büyük (en küçük) fonksiyon değeri; kritik noktalar ve uç noktalar karşılaştırılarak bulunur.
- Ekstremum değer
- Yerel ya da mutlak maksimum ve minimum değerlerin ortak adı.
Örnek soru
$f(x) = x^2 - 6x + 5$ fonksiyonu hangi aralıkta artandır?
- $(-\infty, 3)$
- $(3, \infty)$
- $(-3, \infty)$
- $(1, 5)$
- $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $f'(x) = 2x - 6$ dır; $f'(x) = 0$ için $x = 3$.
2. $x < 3$ için $f'(x) < 0$ (azalan), $x > 3$ için $f'(x) > 0$ (artan).
3. Fonksiyon $(3, \infty)$ aralığında artandır.
Doğru cevap: B. A şıkkı azalan aralıktır; D ve E şıkları fonksiyonun köklerinden (1 ve 5) türetilmiş yanlış aralıklardır.