12. Sınıf Matematik · 6. Ünite: Değişimin Matematiği: Türev

Toplam, Fark, Çarpım ve Bölümün Türevi

Karmaşık görünen bir fonksiyon çoğu zaman iki basit fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ya da bölümüdür. Bu konuda iki fonksiyonun bir noktadaki türevlerinden, bunların birleşiminin türevini nasıl bulacağımızı sayı tablolarında deneyerek tahmin edecek, tahminlerini sınayıp kurallaştıracak ve limit gösterimiyle ispatlayacaksın. Yanlış ama çekici formüllerin (f′·g′ gibi) neden çalışmadığını da göreceksin.

Kazanımlar

• MAT.12.4.7.a. İki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümünün türevine ilişkin varsayımlar geliştirir.
• MAT.12.4.7.b. Varsayımlarına dayalı sayısal örüntüleri geneller.
• MAT.12.4.7.c. Genellemelerini fark bölümü tablosu ve grafikle sınayarak varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
• MAT.12.4.7.ç. Genellemelerini (f ± g)′, (f·g)′ ve (f/g)′ kuralları olarak önerme biçiminde ifade eder.
• MAT.12.4.7.d. Kuralları polinom fonksiyonlarda, teğet denklemi ve değişim oranı problemlerinde kullanır.
• MAT.12.4.7.e. Toplam, fark, çarpım ve bölümün bir noktadaki türevine ilişkin kuralları limit gösteriminden yararlanarak ispatlar.
• MAT.12.4.7.f. Uyguladığı ispatı ve kuralı, fonksiyonu önce açıp türevlemeye göre kullanışlılık açısından değerlendirir.

Konu anlatımı

1. 1. Varsayım: iki fonksiyonun türevinden birleşimin türevine

2. 2. Önermeler: dört kural

3. 3. Limitle ispatlar

4. 4. Çözümlü örnekler

5. 5. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

Anahtar terimler

Toplamın türevi

(f + g)′ = f′ + g′; türev terim terim alınır.

Farkın türevi

(f − g)′ = f′ − g′.

Çarpımın türevi

(f·g)′ = f′·g + f·g′; iki terimli toplamdır, f′·g′ değildir.

Bölümün türevi

(f/g)′ = (f′·g − f·g′) / g² (g ≠ 0).

Sabitle çarpımın türevi

(c·f)′ = c·f′; (c)′ = 0 olduğundan sabit çarpan olduğu gibi kalır.

Fark bölümü tablosu

h(x₀+Δ) − h(x₀) / Δ değerleri; Δ küçülürken türev değerine yaklaşır.

Ekle-çıkar hilesi

Çarpım ve bölüm ispatlarında paya bir terim ekleyip çıkararak iki fark bölümü elde etme yöntemi.

Polinomun türevi

Her terim kuralla ayrı ayrı türetilip toplanır: (3x⁴ − 5x² + 7x)′ = 12x³ − 10x + 7.

Örnek soru

$h(x) = x^3 + 5x^2$ fonksiyonu için $h'(2)$ kaçtır?

1. 12
2. 20
3. 22
4. 32
5. 40

Doğru cevap: D

Çözüm

1. Toplamın türevi terim terim alınır: $h'(x) = 3x^2 + 10x$.
2. $h'(2) = 3\cdot 4 + 10\cdot 2 = 12 + 20 = 32$.
Doğru cevap: D. $12$ yalnızca $x^3$'ün katkısıdır, $20$ yalnızca $5x^2$'nin katkısıdır; ikisi toplanmalıdır.

12. Sınıf Matematik: tüm konular