12. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Değişimin Matematiği: Limit ve Süreklilik
Cebirsel Temsille Limit ve Limit Özellikleri
Kargo ücreti belli bir ağırlıktan sonra farklı bir formüle geçiyorsa, o ağırlığa yaklaşırken ücret nereye gider? İki fonksiyonun toplamının limitini, ayrı ayrı limitlerinden bulabilir miyiz? Bu konuda limiti artık grafikten değil formülden hesaplayacaksın: parçalı fonksiyonlarda sol ve sağ limiti, fonksiyonlarla yapılan işlemlerde limit kurallarını ve ne zaman kullanılabileceğini, rasyonel fonksiyonların sonsuzdaki limitini inceleyeceksin.
Kazanımlar
- MAT.12.4.2.a. Tablo, grafik ve cebirsel temsili verilen bir fonksiyonun bir nokta civarında veya sonsuzda aldığı değerleri belirler ve temsiller arasında dönüşüm yapar.
- MAT.12.4.2.b. Parçalı bir fonksiyonun kritik noktadaki sol ve sağ limitini ilgili parçada x yerine a yazarak hesaplar; limitin var olması için gereken koşulu uygular.
- MAT.12.4.2.d. Toplam, fark, çarpım ve bölüm fonksiyonlarının limiti için varsayımda bulunur, tablo ve grafikle sınar ve genellemeyi önerme olarak ifade eder.
- MAT.12.4.2.g. Limit işlemlerine ilişkin önermenin önkoşulunu (iki limitin de var olması; bölümde paydanın limitinin 0 olmaması) belirtir ve karşı örnekle değerlendirir.
- MAT.12.4.2.ç. Pay ve paydanın derecelerini karşılaştırarak rasyonel bir fonksiyonun x → +∞ ve x → −∞ limitini bulur ve yatay asimptotu yazar.
Konu anlatımı
1. Tablodan cebire: yerine koyma fikri
2. Parçalı fonksiyonda limit
3. Fonksiyonlarla işlemler ve limit: varsayım, sınama, önerme
4. Sonsuzda limit: en yüksek dereceli terimler
5. Çözümlü örnekler
6. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Parçalı fonksiyon
- Tanım kümesinin farklı bölgelerinde farklı kurallarla tanımlanan fonksiyon.
- Yerine koyma
- Polinom ve paydası 0 olmayan rasyonel fonksiyonlarda $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ olduğundan limit $x$ yerine $a$ yazılarak bulunur.
- Limit işlemleri
- Limitler varsa toplamın, farkın, çarpımın ve (paydanın limiti 0 değilse) bölümün limiti, limitlerin aynı işlemiyle bulunur.
- Önkoşul
- Bir kuralın kullanılabilmesi için sağlanması gereken koşul; limit işlemlerinde iki limitin de var olması.
- Sonsuzda limit
- $x\to\pm\infty$ iken $f(x)$'in gittiği değer ya da sınırsız büyüme.
- En yüksek dereceli terim
- Rasyonel bir fonksiyonda $x$ çok büyükken pay ve paydanın davranışını belirleyen terim.
- Yatay asimptot
- Sonsuzdaki limit bir $L$ sayısı olduğunda grafiğin yaklaştığı $y=L$ doğrusu.
Örnek soru
$\lim_{x\to3}(2x^2-5x)$ değeri kaçtır?
- −3
- 3
- 18
- 33
- 0
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Polinom fonksiyonlarda limit, $x$ yerine $a$ yazılarak bulunur.
2. $x=3$ için $2\cdot3^2-5\cdot3 = 18-15 = 3$.
3. Limit $3$'tür.
Doğru cevap: B. −3 işaret hatasıdır, 18 yalnızca ilk terimi alır, 33 ise −5x terimini +15 sayar.