12. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Değişimin Matematiği: Limit ve Süreklilik
Limitte Belirsizlik Durumları
$\dfrac{x^2-4}{x-2}$ ifadesinde $x=2$ yazarsan $\dfrac00$ çıkar; hesap makinesi "hata" verir, ama ifadenin grafiği $x=2$'ye çok yaklaşınca gayet düzgün davranır. Her $\dfrac00$ aynı cevabı vermez ve her "sıfıra bölme" de aynı şey değildir. Bu konuda belirsizlik ($\dfrac00$) ile tanımsızlık ($\dfrac k0$, $k\neq0$) arasındaki farkı öğrenecek, $\dfrac00$ belirsizliğini çarpanlara ayırarak ve eşlenikle çarparak gidermeyi ve sonucu iki grafiği karşılaştırarak yorumlamayı kazanacaksın.
Kazanımlar
- MAT.12.4.3.a. Bir noktada yerine koyunca elde edilen $\frac{0}{0}$ (belirsizlik) ile $\frac{k}{0}$, $k\neq0$ (tanımsızlık) durumlarını birbirinden ayırır.
- MAT.12.4.3.a. Belirsizlik içeren bir ifadenin $a$ noktası civarındaki davranışını tablo ve grafikle inceleyerek limiti tahmin eder.
- MAT.12.4.3.b. Polinom ve rasyonel ifadelerde çarpanlara ayırıp sadeleştirerek $\frac{0}{0}$ belirsizliğini giderir.
- MAT.12.4.3.b. Karekök içeren ifadelerde payı ya da paydayı eşleniğiyle çarparak $\frac{0}{0}$ belirsizliğini giderir.
- MAT.12.4.3.c. Sadeleştirilmiş ifadenin grafiği ile başlangıç fonksiyonunun grafiğini karşılaştırarak bulduğu limiti ve $f(a)$ ile ilişkisini yeniden ifade eder.
- MAT.12.4.3.c. $\frac{k}{0}$ durumunda sol ve sağ limiti işaret incelemesiyle yorumlar.
Konu anlatımı
1. Yerine koyunca ne çıkıyor?
2. Tablo ve grafikle inceleme
3. Çarpanlara ayırarak belirsizliği giderme
4. Eşlenik ile belirsizliği giderme
5. Tanımsızlık: pay sıfır değil, payda sıfır
6. Çözümlü örnek ve karşılaştırma
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Belirsizlik
- Yerine koyunca pay ve paydanın ikisi de 0 olduğunda ($\frac00$) oranın nereye gittiğinin bu bilgiden anlaşılamaması.
- Tanımsızlık
- Yerine koyunca pay 0'dan farklı, payda 0 olduğunda ($\frac k0$) ifadenin tanımsız olması; limit yok ya da $\pm\infty$ çıkar.
- Çarpanlara ayırma
- Pay ve paydadaki ortak $(x-a)$ çarpanını görünür kılmak için polinomu çarpan biçiminde yazma.
- Sadeleştirme
- $x\neq a$ olduğu sürece ortak çarpanı pay ve paydadan atma; limitte $x$, $a$'ya yaklaşır ama $a$ olmaz.
- Eşlenik
- $\sqrt A-q$ ifadesinin eşleniği $\sqrt A+q$; çarpımları $A-q^2$ olur ve karekök kaybolur.
- Delik
- Grafikte limiti var ama fonksiyon değeri tanımsız olan nokta; boş daire ile gösterilir.
- Dikey asimptot
- Tanımsızlık durumunda eğrinin sınırsız yaklaştığı $x=a$ doğrusu.
Örnek soru
$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ ifadesinde $x$ yerine 2 yazıldığında hangi durum elde edilir?
- Sonuç 0 olur.
- Sonuç 1 olur.
- $\dfrac40$ (tanımsızlık)
- $\dfrac00$ (belirsizlik)
- Sonuç 4 olur.
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Pay: $2^2-4=0$.
2. Payda: $2-2=0$.
3. İkisi de 0 olduğundan $\dfrac00$ biçimi elde edilir; bu bir belirsizliktir ve ifadenin dönüştürülmesi gerekir.
Doğru cevap: D. 4 sayısı limitin değeridir, yerine koymanın sonucu değildir.